che Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 93 Quadratische Gleichungen. 
in den meisten Lehr- 
ifgabensammlungen. 
1 fc einer quadrati- 
ung lässt sich der 
periodischen Ket 
timmen. 
,cr Kettenbruch ist von 
Wir setzen zu dem Ende folgende 
Sätze aus der Theorie der Kettenbrüche 
voraus, die in dem Artikel „Unbestimmte 
Aufgaben“ bewiesen werden. 
I. Ist 
y- a 1+!_ 
«3 + . 
und es braucht hierbei x keine ganze 
Zahl zu sein, sondern derjenige Quo 
tient, welcher hinzugefügt werden muss, 
um den Kettenhruch zu seinem voll 
ständigen Werthe y zu ergänzen, also 
der sogenannte vollständige Quotient. 
16) Sei jetzt der periodische Ketten 
hruch : 
f 1 
+ 1 
an+l-j-y 
ein Kettenbruch, und die Näherungs- 
hrüche, wie sie sich aus Berechnung der 
Werthe von 
ß,, a i"hJL’ • • 
«„ 1 a i~\' 1 
a 3 
a* 
ergehen, seien; 
A, As_ 
Ä,’ B 2 ' * ’ ' B t 
so sind diese Brüche immer abwechselnd 
kleiner und grösser, als der Werth y 
des ganzen Kettenhruches. 
Ci 
II. Es gibt keinen Bruch —, der dem 
ß 
Werthe von y näher kommt, als ein be- 
Ag 
liebiger Näherungswerth —, wenn nicht 
a grösser als A s 
und 
ß grösser als B s 
ist, selbstverständlich vorausgesetzt, dass 
« und ß relative Primzahlen sind. 
III. Die Näherungsbrüche werden ge 
funden durch folgende Formeln: 
A v ~a l , B t — 1, 
A2 — A ^ CI .¿+1) B 2 
Af — A 2 a 3 +A B t ~ B 2 ci 2 + B 
A^—A 2 ct i +A 2 i B ^.— B 3 a,+B 2 , 
IV. Es ist immer 
A 9 B m _ i ~A m _<B. = +1. 
+1 
a n +y 
gegeben, so ergibt sich aus dem SatzIII. 
des vorigen Abschnittes offenbar der 
Werth von y, wenn man in der Formel 
daselbst a n +y für x, für A n und B n 
aber A n i und ß nl , und A re _ 2 und 
B n _2 für A n i und B n ^ setzt. Es ist also: 
_ A n _ x (a n +y)A-A n __ 2 _ A n _ t y+A n _ 
Das Pluszeichen gilt, wenn n grade ist, 
das Minuszeichen, wenn n ungrade ist. 
Aus III. folgt sogleich 
V. Wenn n die Anzahl der Theil- 
brüche ist, die — vorangeht, so ist: 
x 
y= A n *+A n _i 
B n-i( a n +y)+ B „- 2 B n-1 y + B n ' 
der letzte geschriebene Werth beruht 
darauf, dass 
A H -i a n +A n _ 2 =A n , B n _ l b n +B n2 = B n 
war. Ist übrigens a n = 0, so wird der 
erste Werth von y, d. h, 
A n-jy+A n _ 2 
B n -iy+B n _2 
genommen. Man hat also die quadrati 
sche Gleichung 
B n-\V i +(B n -A n _ i )y-A n = 0, 
durch welche dieser Kettenbruch bestimmt 
werden kann, wenn a n nicht gleich 0 ist. 
Die Grössen a l , a 2 . . . sind sämmt- 
lich positiv, also auch y, es muss also 
immer die positive Wurzel unserer Glei 
chung genommen werden. 
Ist aber a n = 0, so ist die quadratische 
Gleichung 
B n-i y 2 +( B n~2 - A„-1) y—A n _ 2 = 0. 
Beispiele. Sei 
y-l+l_ 
2 +l 
3+1+1 
2+_l_ 
3+. 
B n x + B „-i