ische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 95 
Quadratische Gleichungen. 
»- Ä n- v 
zweite Fall stattfindet 
»—2 — -^n—1 
igung ist übrigens in der 
¡griffen, und entspricht, 
;, dem Fall, wo a n gleich 
eutung dieser Gleichung 
ollen wir 2 Kettenbrüche 
h 1 
«3+ • 
' +1 
i+L_ 
a n—2 
+ 
+ 1 
«i 
gleichen, wo also die 
ersten im 2ten Ketten- 
kehrter Reihenfolge vor 
nennt solche Ketten- 
jesetzte. 
-1 a n+ A n-1 
-1 a n + B n-2 
;e Theilnenner ist; wir 
ebnen, wollen wir aber 
gegebene Methode an- 
vom letzten Bruche be- 
mer nach einander weg- 
i 
a l a 2 -\-l_ Ai 
a i A, 
so dass man schliesslich hat: 
A 
ist, wenn er also die Form hat: 
y=®i+jL 
ft, . 
+1 
ff 3 + 1 
n 2 + 1 
a. 
Die Ausdrücke A t , A z ... A n aber 
sind dieselben, welche als Zähler in den 
Nähernngswerthen des Kettenbruchs y 
Vorkommen. 
Sind also 2 entgegengesetzte Ketten 
brüche zu bestimmen, so ist der Werth 
eines jeden gleich dem Zähler des Wer- _ .. 
thes des entgegengesetzten Bruches, di- offenbar ist dann der entgegengesetzte 
vidirt durch den Zähler seines letzten Bruch gleich y, man hat also 
Näherungswerthes. A n _A n 
Ein Kettenbruch heisst symmetrisch, ß 
wenn in ihm n 1 
«2 = ««_!» a 3=n-2 • * * oder A n-i~ B n- 
Dies war aber die oben gefundene Gleichung. Es lässt sich also jeder Ketten- 
hruch auf eine Quadratwurzel zurückführen, dessen Periode einen symmetrischen 
Bruch: 
2/ = «l+ 1_ 
a, + . 
+ 1_ 
«,+ 1 
i + ct i + 1 
(t* + 
bildet. Es ist dann: 
V : 
n— 1 
Beispiel: 
y = 1+1 
3+1 
1+1 
1+1 
3+1 
1+1+2/; 
hier ist n~ 6, 
+ 1 = 1, B l = 1, 
A J= 4, 
A s =5, ^3=4) 
A,= 9, B, = 7, 
A s = 32, B s = 25, 
A e =41, B 6 =32, 
also A s —B e , wie dies auch sein muss und 
25y*=41,y=3^. 
18) Noch wichtiger ist indess die um 
gekehrte Aufgabe: „Die Auflösung einer 
quadratischen Gleichung auf Kettenbrü 
che zurückzuführen“; nicht dcsshalb, weil 
diese Auflösungsart wesentliche Erleich 
terung der numerischen Rechnung dar 
böte, sondern weil sich aus dieser Auf 
gabe Sätze ergeben, die für verschiedene 
Zwecke, namentlich auch für die Auflö 
sung unbestimmter quadratischer Glei 
chungen in ganzen Zahlen sehr nöthig 
sind. Wir werden uns also mit dieser 
Aufgabe beschäftigen. 
Da aber die Auflösung der quadrati 
schen Gleichungen eben zu Quadratwur 
zeln führt, so kommt es zunächst nur 
darauf an, eine Quadratwurzel in einen 
Kettenbruch zu verwandeln; und es er 
gibt sich schon aus den eben beendeten 
Betrachtungen, dass dieser Kettenhruch 
nothwendig ein periodischer sein muss. 
Es lässt sich nämlich zeigen, dass A n 
und A n _i einen beliebigen Werth haben 
können. 
Es sei D zunächst eine positive ganze 
Zahl, jedoch keine Quadratzahl, a die 
grösste in Yl) enthaltene ganze Zahl, also