ische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 99 Quadratische Gleichungen. 
1 n A ' 
t d W 
ler folgende Näherungs- 
ienbruchs, welcher eine 
ner quadratischen Glei- 
- h 4' 
5—ö g’ bt » der auf ßl. 
Quotient aber: 
.fb+J 
N ’ 
jsclinit.t 15) V. angeführt 
b 
2 _A'Q+A 
' ~B’Q+B 
B'A = ±1] 
thes von Q verwandelt' 
3 Gleichung in: 
’]/D + A'J+AN 
’]/h+B'J+ BN 
-AN)+aA'Y D, 
N + hjß'+aA'), 
U 
diesen Schlüssen vor- 
lur erfüllen, wenn ihre 
talt an, wenn man die 
len. Man erhält: 
i 
\-cBB’. 
Da aber 
A'B-B'Ä = ± 1, 
so muss nach Gleichung 3) N notbwen- 
dig eine ganze Zahl sein. 
Es ist aber 
AB'+BA' = 2AB'±1, 
folglich immer eine ungrade Zahl, und 
daher lehrt Gleichung 4), dass J eine 
ganze Zahl ist, wenn b eine grade Zahl, 
dagegen durch 2 theilbar, wenn J un 
grade ist. 
Mit Bezug auf die Gleichungen 3) und 
4) machen wir übrigens auf ihre Ueber- 
einstimmung mit denjenigen aufmerksam, 
welche in der Lehre von den quadrati 
schen Eormen zu der acquivalenten 
Transformation einer Form führen. (Siehe 
den Artikel: Quadratische Formen). 
Die Convergenz dieser Entwickelung 
wird übrigens ganz wie in Abschnitt 18) 
bewiesen. 
21) Quadratische Gleichungen 
mit mehreren Unbekannten. 
Im Allgemeinen lassen sich Gleichun 
gen mit mehreren Unbekannten nur dann 
auf quadratische zurückführen, wenn nur 
eine davon quadratisch, die andern aber 
linear sind. 
Denn schon 2 quadratische Gleichun 
gen mit 2 Unbekannten geben im All 
gemeinen nach Elimination der einen eine 
Gleichung 4tcr Ordnung. 
Die allgemeine Form der Gleichungen, 
welche zu einer quadratischen mit einer 
Unbekannten führen, wäre demnach: 
1) Ax 2 ~\~By 2 G& 2 -f~ •" • ~\~A^xyBCz~\~ ••• A.iX~\-B .¿y -\- A~ Br — 9, 
2) ax+ßy+yz+ • •• =J, 
3) « l x+ß l y + y l 
Die einfachste Gleichung dieser Art 
mit 2 Unbekannten ist: 
xy — a, x+y—b. 
Der Werth von y aus der zweiten in die 
erste gesetzt gibt: 
x 2 — bx = —et] 
setzt man aber x aus der zweiten in die 
erste, so kommt: 
yt—by=-a. 
Also dieselbe Gleichung gilt für u- und 
y, wie dies auch sein muss, da die ge 
gebenen Gleichungen sich nicht ändern, 
wenn man x und y vertauscht. 
Da aber a: und y im Allgemeinen 
nicht gleich sein können, so stellt x die 
eine, y die andre Wurzel der Gleichung 
x 2 — bx= —a 
vor. 
••• — 
Auf die Gleichungen 
xy = a, x-\-y — b 
lassen sich aber viele andere Gleichun 
gen, deren Grad höher als der 2te ist, 
zurückführen. 
Es ist dies namentlich bei solchen 
Gleichungen mit 2 Unbekannten der 
Fall, worin x und y symmetrisch Vor 
kommen. Eine solche Gleichung hat 
nämlich, wie leicht zu sehen, immer die 
Gestalt: 
SA (x P y 9 +x 9 y P ) = B. 
Nehmen wir an, es sei in irgend einem 
Gliede der Summe q grösser als p und 
gleich p -f- r, so erhält man für dieses 
Glied: 
(xyf (x +/). 
Es ist aber 
»• r , r , r—2 r—2. r(r—1). . . r— 4 r—4. 
X +y = (x+y) — rxy(x +y )—YTg-Cu/) 2 ^ +y ) + • 
r 2 r—2 r— 4 r—4 
und da x +«/ , x -\-y , . . . 
ganz wie x -\-y behandelt werden kön 
nen, so kommt man endlich auf eine 
Form', die nur Potenzen von x-\-y und 
xy enthält. Setzt man 
x+y = u, xy = v, 
so sieht man leicht, dass das entspre 
chende Glied, welches von der p + qten 
Dimension in Bezug auf x und y war, 
jetzt in Bezug auf u und v nur die 
p+rte Dimension hat, da das höchste 
Glied 
(xyf (x+yf = uv’ 
wird; also es findet eine Eeduction der 
Gleichung um q Grade statt. 
Beispiel. Seien die beiden Glei 
chungen gegeben: 
1) x 2 -\-y 2 —x—y = 78, 
2) xy+x-i-y = 39, 
so nimmt die letztere durch Einführung 
von 
x-\-y — u, xy~v 
ohne weiteres die lineare Gestalt an: 
m u — 39. 
Die erstere aber wird: 
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