Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 104 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
Quadrat. 1 
Seien demnach: 
r s 
V = —, U — — 
s z 
wo »•, s, z alle drei keinen gemein 
schaftlichen Factor haben dürfen. 
Unsere Gleichung wird dann: 
r 2 = Ai 2 +jßz 2 , 
wo r, s, z ganze Zahlen sind. Da A 
und B keinen quadratischen Factor ha 
ben, müssen je 2 der Zahlen r, s, z 
relativ einfache Zahlen sein. Denn hät 
ten z. B. r und s einen Factor gemein, 
so kann derselbe nicht in z Vorkommen, 
er müsste also 2 Mal in B als Factor, 
d. h. als quadratischer, enthalten sein. 
2) Es sollen jetzt die Bedingungen 
untersucht werden, welche stattfinden 
müssen, damit die Gleichung 
r 2 = As 2 -\-Bz 2 
überhaupt in ganzen Zahlen lösbar sei. 
Möge f der grösste gemeinschaftliche 
Factor von A und B, also A = af, B — bf 
sein, so ist: 
r 2 = afs 2 -f- hß 2 . 
Es sind auch af und b, so wie bf und 
a relative Primzahlen, denn wäre dies 
nicht der Fall, so müssten, da a und b 
relative Primzahlen sind, z. B. f und b 
einen Factor gemein haben, also in 
B — bf müsste ein quadratischer Factor 
Vorkommen. 
Sei jetzt p eine in h als Factor ent 
haltene Primzahl, so ist r 2 —a/s 2 jeden 
falls durch p thcilbar. Es sind dann 
aber weder r noch s durch p theilbar, 
denn wäre es r, so müsste es auch s 
sein, da af nicht durch p theilbar ist, 
r und s aber haben keinen Factor ge 
mein. Es lassen sich also jedenfalls 2 
Zahlen t und u so bestimmen, dass 
sl—pti— 1 
ist, oder dass 
stEl modp 
wird. (Siehe den Artikel: unbestimmte 
Aufgaben.) Verbindet man diese Con- 
gruenz mit 
r 2 ~ afs 2 modp, 
welche stattfindet, weil r 2 —afs 2 durch 
p theilbar Avird, und multiplicirt letztere 
mit < 2 , so kommt: 
(ri) 2 Ea/modp. 
Es muss also af oder A quadratischer 
Best für jeden Factor p von bf oder B, 
d. h. von B selbst sein. Für B lässt 
sich ein gleicher Schluss machen, und 
man erhält den Satz; 
„Die Gleichung 
v 2 = As 2 + 2?z 2 
ist nur dann in ganzen Zahlen lösbar, 
wenn A quadratischer Best von B, und 
B quadratischer Best von A ist.“ 
8) Wegen der Gleichung 
r 2 = afs 2 + bß 2 
ist r durch f theilbar, wir wollen daher 
r — fw 
schreiben, dann ist: 
fw 2 = as■ + bz 2 
oder, wenn man mit a multiplicirt: 
afic 2 = a 2 s 2 -\-abz 2 , 
d. h. 
(as) 2 E — abz 2 mod/ - . 
ab und f sind aber relativ einfache Zah 
len, denn f hat weder einen Factor mit 
a noch mit b gemein. „Es muss also 
auch —ab quadratischer Best von f sein,“ 
weil —abz 2 ein solcher ist. 
Nun sind die Fälle zu unterscheiden, 
1) wo A und B positiv sind, 2) eine 
von beiden Grössen negativ ist. Denn in 
r 2 — As 2 -\-Bl 2 
können nicht gleichzeitig A und B ne 
gativ sein. 
Aber der zweite Fall lässt sich immer 
auf den ersten zurückführen. Denn sei 
z. B. 
r 2 — As 2 — Bt 2 , 
wo A und B positiv sind, so können 
wir, da r durch f theilbar ist, wieder 
setzen r — fio, und unsre Gleichung wird: 
fw 2 = as 2 — bl 2 
oder 
as 2 — bl 2 -f-fw 2 . 
d. h. wenn man mit a multiplicirt: 
(as) 2 = abt 2 + afic 2 . 
Setzt man für as einen eignen Buch 
staben, so hat man ganz die obige Form 
tvieder. Es kann diese also als allge 
mein gültig angesehen werden, und wir 
denken uns daher sowohl A als B po 
sitiv. 
Es ist aber selbst darauf nicht zu se 
hen, dass in der Gleichung 
r 2 =As ! +Bt 2 
die Wurzeln ganze Zahlen seien. Denn 
jede Auflösung in rationalen Zahlen gibt, 
wenn man die Nenner gleich macht und 
solche Avegschafft, auch eine Auflösung 
in ganzen Zahlen. 
Seien zunäshst A und B ungleich, und 
ZAvar B kleiner als A; es muss dann, da 
B quadratii 
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