Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 106 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
Quadrat. 
quadratischer Rest zu B, also auch zu 
7, mithin auch Ae'k 2 , und da 
Ae‘ l k 2 E —egmoA<f 
ist, so ist — eg quadratischer Rest von 
</, wie vorausgesagt wurde. 
5) Setzt man dies Verfahren fort, so 
kommt für n eine Zahl, die kleiner als 
« . 
-r ist u. s. w., es wird also die Glei- 
4 
chung sich in eine andre 
r 5 — x / s a -j-Bt 2 
zuletzt verwandeln, wo tx kleiner als B 
ist. Eine solche Gleichung nennen wir 
reducirte. 
Diese reducirte Gleichung sei jetzt 
wieder: 
r 2 = As 2 + Bl 2 . 
Sie lässt sich nunmehr nach B hin rc- 
duciren, so dass /3<i-ß und schliesslich 
der zweite Coefficient kleiner als A wird. 
Das Verfahren ist das nämliche wie 
oben. 
Eine Ausnahme kann nur dann statt 
finden, wenn in der gegebenen oder in 
einer der reducirten Gleichungen A~B 
wird. In diesem Ealle ist unser Ver 
fahren folgendermassen zu modificiren. 
In der Gleichung r 2 = B(s~ +C) ist 
a~b — 1, B — f 
zu setzen, die dritte unsrer Bedingungen 
wird also die, dass —1 quadratischer 
Rest von B ist, die ersten beiden sind 
selbstverständlich. 
Ergieht sich aber eine Gleichung von 
dieser Form durch Réduction, so ist 
«-B, also n 2 — B — ABk 2 . 
Es folgt daraus, dass 
n — Br und Br 2 — 1 = Ak 2 
ist, d. h. 
Ak 2 E — 1 mod B 
und da A quadratischer Rest von B war, 
so ist es auch — 1. Diese Bedingung 
der Lösbarkeit wird also auch in diesem 
Ealle immer von selbst sich erfüllen. 
Zur weitern Réduction setzt man nun : 
r — B(s — s ,s ), 
so dass man erhält: 
ß(s-s’) 2 = s 2 + t 2 
oder : 
(B-l)s 2 -2Bss'+Bs'- = l 2 . 
Der grösste quadratische Factor von 
B—1 soll wieder k 2 sein, so dass 
B-l = ßk 2 
ist, also: 
ßk 2 s 2 — 2Bss r -\-Bs f2 rr t 2 . 
Wir multipliciren mit ßk 2 , und setzen 
ß k 2 s — Bs' — r' 
und 
kt = t', 
es kommt dann: 
r’ 2 = Bs' 2 +ßl' 2 . 
Da in dieser Gleichung B und ß relativ 
einfache Zahlen sind, so fällt die dritte 
Bedingung ganz weg. Wegen der Glei 
chung 
B = ßk 2 +1 
oder: 
1 ER mod/3 
ist aber B quadratischer Rest von ß, 
und da — 1 quadratischer Rest von B 
war, und 
ßk 2 E —1 mod B, 
so ist auch ßk 2 , d. h. ß quadratischer 
Rest zu B. Die Bedingungen der Auf 
lösbarkeit finden also auch bei der hier 
einzuschlagenden Rcductionsweise statt. 
6) Fährt man mit diesen Reductionen 
fort, so kommt man zuletzt auf eine 
Gleichung, wo einer der Coefficienten 1 
ist: 
r 2 = s 2 + Bt 2 . 
Wir zeigen, dass diese Gleichung immer 
lösbar ist, und damit wird auch bewiesen 
sein, dass die 3 Reductionsbedingungen 
nicht allein nöthig, sondern auch aus 
reichend für die Auflösbarkeit der zuerst 
gegebenen Gleichung sind. 
Was nämlich die letzte Gleichung an 
betrifft, so ist um sie aufzulösen nur 
nöthig, dem Ausdrucke s 2 +Bl 2 die Form 
eines vollständigen Quadrates zu geben, 
also zu setzen: 
s 2 + ßl 2 -(s + a) 2 , 
woraus folgt: 
Bt 2 =2«s+« a , 
also: 
Bt 2 -u 2 
woraus sich dann mittels der Gleichung 
r 2 = («-)-ff)- oder r = s + « 
ergiebt: 
Bl 2 +n 2 
1 ~ 2 k • 
t ist also ganz beliebig zu nehmen eben 
so wie «. 
Sollen noch, was freilich nicht nöthig 
war, r, s, t ganze Zahlen sein, so setze 
man die e 
Gleichung 
ein. Es b 
(ßiM-j 
4« 2 
also wenn 
(Bt 2 + V 
woraus sic 
chung ehe: 
ganzen Zal 
r=Bß 2 
Es ist in 
schrieben, 
Grösse t 
sind belieb 
Es ist a 
Ausdrücke 
haben, die, 
Kann also 
Factoren 
zerlegt wer 
dann der 1 
tritt, und 
desselben, 
7) Bois 
chung sei : 
Die Reduct 
n 2 — 
A 
(siehe Abs 
aber ist 
also: 
n-7 
r-lt- 
Die Gleiche 
aber wird 
und mittels 
vorigen Abi