Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 108 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). Quadrat 
wird. Diejenigen Wcrthe, die an— £,y' 1 
zum Quadrate machen, sind dann Auf 
lösungen für u. 
Um x zu finden, sei « einer der hier 
gefundenen Wcrthe von u, ß der zuge 
hörige von y, so muss sein entweder 
ax + bß = n 
oder 
oder 
ax—bß = a 
oder 
ax-ß-bß— —a 
also 
oder 
ax—bß— —a, 
Nur die ganzen Zahlen, welche sich 
etwa aus diesen Gleichungen ergehen, 
sind zu nehmen. 
Selbstverständlich kann aber dies Ver 
fahren ein sehr langwieriges sein, und 
ist es daher wohl gethan, so viel als 
möglich Werthe von u und y, welche 
kein Resultat geben, gleich von vorn 
herein auszuschliessen. 
Man suche die Reste von A und n 
für einen beliebigen Modul p, dieselben 
mögen sein cf und v. Es können dann 
nur solche Werthe von u und y die 
Gleichung 
m 2 + A y 2 — n 
erfüllen, für welche 
u 2 + dy 2 = mod p 
ist. 
Sei nun ß eine positive ganze Zahl, 
die kleiner als p und quadratischer Nicht 
rest von p ist, so darf y nicht so ge 
wählt werden, dass 
ß-\-dy 2 =. v modp, 
d. h. 
dy 2 =.v—ßmodp, 
ist. 
Sei « eine Zahl, welche für y gesetzt, 
diese Congruenz erfüllt, so sind also 
alle Wcrthe von der Form sp + a für y 
ganz auszuschliessen. 
Durch zweckmässige Auswahl und Ver 
änderung der Zahlen p und ß gelangt 
man zur Ausschliessung vieler Werthe 
für y. 
Man nimmt übrigens für p nur Prim 
zahlen oder Potenzen von denselben, 
da andere Zahlen in Bezug auf die Aus 
schliessung dasselbe geben, als ihre 
Factoren. Das folgende Beispiel ent 
nehmen wir „Mindings Anfangsgründe 
der hohem Arithmetik (Berlin 1832). 
Beispiel. Sei die gegebene Glei 
chung : 
m 2 + 13j/ 2 =33934. 
Sei p — 4, also 
33934 = 2 mod 4, 
13 = 1 mod 4, 
also 
«*-f-y 2 = 2 mod4. 
2 und 3 sind Nichtreste von 4, cs kann 
also y 2 nicht congruent — 1 oder 3 
nach Modul 4 sein. Die erste Bedin- 
dung schliesst für unsern Fall keine 
Werthe aus, die letztere aber zeigt, dass 
keine graden Werthe für y zu 
nehmen sind. 
Von den 51 Wcrthen, welche kleiner 
/Qqqol 
als 1/ sind, bleiben also noch 
\ 13 
übrig für y; 
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 
23, ‘25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 
43, 45, 47, 49, 51. 
Wird jetzt p — 5 gesetzt, so muss 
?< 2 +3i/ 2 = 4 mod 5 
sein. Nichtreste von 5 sind 2 und 3. 
Also alle Wcrthe von y, welche eine 
der Congruenzen 
2+3/; 2 =4mod5, 3+3// 2 = 4mod5 
erfüllen, sind auszuschliessen. Dies gibt: 
3y 2 =2 mod 5, 3// 2 = lmod5, 
//'E4mod5, // 2 = 2mod5. 
Die Quadrate der ungraden Zahlen aber 
können nach Modul 5 nur mit 1 und 4 
congruent sein. Die letzte Bedingung 
schliesst also keine Werthe aus, die 
erste dagegen die, wo 
y = 2 oder y=— 2 mod 5 
ist. Damit sind ausgeschlossen die Zah 
len : 
3, 7, 13, 17, 23, 27, 33, 37, 43, 47. 
Sei jetzt p — 7, so wird: 
w ■ + Qy 2 = 5 mod 7. 
Die Nichtreste von 7 sind 3, 5, 6, und 
dies führt dazu, dass nicht 
6y 2 =2, 6y 2 =0, 6y 2 = 6mod7 
sein kann. Diese Congruenzen nehmen 
die Gestalt an: 
?/ 2 E5, j/* = l, y 2 = 0mod7. 
Die beiden letzten Beziehungen lehrten, 
dass y nicht von den Formen ln, 7n+l, 
7n—1 sein kann, es werden ausgeschlos 
sen die Zahlen: 
1, 7, 13, 15, 21, 27, 29, 35, 41, 43, 49, 
von denen 
waren. 
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y = 51 ein 
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