ch. (unbestimmte). 
Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 109 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
die gegebene Glci- 
2 =33934. 
12 mod4, 
mod4, 
: 2 mod4. 
reste von 4, es kann 
igruent — 1 oder 3 
. Die erste Bedin- 
unsern Fall keine 
tztcre aber zeigt, dass 
Werthe für y zu 
then, welche kleiner 
bleiben also noch 
13, 15, 17, 19, 21, 
33. 35, 37, 39, 41, 
7, 49, 51. 
gesetzt, so muss 
= 4 mod 5 
m 5 sind 2 und 3. 
von y, welche eine 
3+3y 2 = 4 mod5 
schliessen. Dies gibt: 
3)/ 2 El mod5, 
y - = 2 mod 5. 
ngraden Zahlen aber 
5 nur mit 1 und 4 
»ie letzte Bedingung 
i Werthe aus, die 
ro 
E — 2 mod5 
geschlossen die Zah- 
27, 33, 37, 43, 47. 
wird: 
15 mod 7. 
7 sind 3, 5, 6, und 
s nicht 
), 6// 2 = 6mod7 
Kongruenzen nehmen 
y 2 =0 mod7. 
Beziehungen lehrten, 
n Formen 7n, 7n+l, 
werden ausgeschlos- 
, 29, 35, 41, 43, 49, 
von denen jedoch nur 7 noch vorhanden 
waren. 
Die Nichtreste nach 11 schliesscn von 
den noch vorhandenen Zahlen noch 
9, 11, 31, 45 
aus, so dass für einen Versuch nur noch 
5, 19, 25, 39, 51 
übrig sind, und es zeigt sich, dass nur 
?/ = 51 eine Lösung gibt. Es ist nämlich 
11 2 +13-51’= 33934. 
9) In völlig anderer Weise muss je 
doch die Auflösung der unbestimmten 
Gleichung 
a.r 2 + 2 bxy + «/ 2 = JV 
bewerkstelligt werden, wenn die Deter 
minante : 
D = b 2 —ac 
positiv ist. 
Wir haben uns hierbei auf Einiges zu 
beziehen, welches in dem Artikel „qua 
dratische Formen“ nachzuschlagen ist. 
Es waren dort namentlich folgende 
Sätze bewiesen: 
I) Damit man zwei Werthe für x und 
y bestimmen kann, wo x und y relative 
Primzahlen sind, muss nothwendig D 
quadratischer Rest von N sein. Alle 
Auflösungen unsrer Gleichung, welche 
zu einer Wurzel der Congruenz 
«* = D mod JV 
gehörten, bildeten eine Gruppe. 
II) Aus einem Werthe von x, y Hes 
sen sich alle derselben Gruppe ungehö 
rigen x v , y v finden, wenn man setzte: 
_xt — (bx+yc)u _yl + (ax+by)u 
Es wurde aber auch bewiesen, dass die 
Feilsche Gleichung immer aufzulösen sei. 
III) Aus einem Werthpaare T, U, 
welches die Gleichung t 2 — Du 2 —1 löst, 
lassen sich unendlich viel hersteilen, ver 
mittelst der Formel: 
t+uY jü=(t + uyi/j n , 
wo n eine beliebige positive oder nega 
tive Zahl ist. Wenn man hierin den 
rationalen Theil vom irrationalen trennt, 
erhält man 2 neue Werthe t, u, welche 
ebenfalls die gegebene Gleichung auf- 
losen. Sind T und U die kleinsten ganz 
zahligen Werthe, welche die letztem er 
füllen, so erhält man auf diese Weise 
alle möglichen Werthe von t und u, 
uud mithin alle von x, y, welche unsre 
Gleichung erfüllen, und zu einer Gruppe 
gehören. 
Verbindet man nun sämmtliche Wur 
zeln der Congruenz 
n 2 E.D mod N 
mit der Gleichung 
t 2 —Du 2 = 1, 
so hat man alle Auflösungen unserer 
Gleichung, wenn a, 26 und r. keinen ge 
meinschaftlichen Factor haben. 
Es kommt also lediglich darauf an, 
für die Gleichung 
ax 2 +2bxy-\-cy 2 = N 
aus jeder Gruppe eine Auflösung, und 
für 
t 2 —l)u 2 -l 
die kleinste zu erhalten, um unsre Auf 
gabe völlig zu lösen, so weit es in re 
lativen Primzahlen geschehen kann. 
wo t und u zwei Werthe waren, welche 
die Gleichung: 
t 2 —Du ! = (o 2 
erfüllten, und w der grösste gemein 
schaftliche Factor von a, 26 und c war. 
Haben namentlich a, 26 und c keinen 
gemeinschaftlichen Factor, so muss 
t 2 -Du 2 = 1 
sein. Diese Gleichung, welche die Feil 
sche genannt wird, führt auch unmittel 
bar zu Auflösungen der vorletzten all 
gemeinen Gleichung. Denn sind ( t , u l 
zwei zusammengehörige Werthe von t und 
u in der Feilschen Gleichung, so erfüllen 
offenbar die Werthe 
t~ Olt L , u = wm 1 
die Gleichung 
i a —Du 2 = w 2 . 
10) Seien jetzt x und y keine 
relativen Primzahlen, so wird die 
linke Seite der Gleichung 
ax 2 -\-2bxy + cy 2 = N 
und folglich auch N den grössten ge 
meinschaftlichen Factor von x und y in 
quadratischer Form enthalten. 
Sei h dieser Factor und iV=6V, so 
ist also 
ax 2 -\-2bxy + cy 2 —h 2 v. 
x und y aber sollen nach der Voraus 
setzung den Factor h haben, es ist also, 
wenn man durch h 2 dividirt: 
jr, jr sind ganze relativ einfache Zahlen.