Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 110 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
Quadrat. ( 
Löst man also die Gleichung: 
ÖD 2 + 26uiC-)-CiP 2 — v 
in relativ einfachen Zahlen auf, und setzt 
x — hv, y = htc, so ist die obige Gleichung 
ebenfalls gelöst, und dieser Fall auf den 
vorigen zurückgeführt. 
Ferner ergieht sich leicht, dass man 
annehmen kann, a, b und c hätten kei 
nen Factor gemein, denn wäre dies der 
Fall, so könnte man A r , welche Zahl 
denselben Factor haben muss, durch ihn 
dividiren. 
Es kommt also eigentlich nur auf eine 
der beiden Gleichungen 
t 2 -Du 2 = 1 
und 
f 2 —Dh 2 =4 
an, je nachdem a und c nicht beide 
grade oder beide grade sind. 
Auf den letzten Fall lässt sich augen 
blicklich auch die Auflösung der Glei 
chung : 
ax 2 + bxy+cy 2 ~N 
zurückführen, indem man mit 2 multi- 
plicirt. 
In diesem Falle ist 
D=b 2 — 4«C 
also D ungrade, da b ungrade angenom 
men wurde. 
Setzt man nun in der Gleichung 
t 2 — Du 2 — 4 
t _2r und « = 2y, so erhält man wieder: 
r 2 —Du 2 — 1. 
Dies ist die Feilsche Gleichung, und 
man hat, wenn man die kleinsten Werthe 
von r und v kennt, nur t ~ 2r und 
u = 2u noch zunehmen. 
11) Die Auflösung der Gleichung 
ax 2 -\-2bxy -\-cy 2 = N 
und folglich auch die der Gleichung 
t 1 —Du 2 — 1 
lässt sich mit Hülfe der Kettenbrüche 
bewerkstelligen. 
Es ist zu dem Ende nöthig, hier noch 
einen Satz über diese Brüche anzufüh 
ren, welcher sich auf die Bestimmung 
der Näherungswerthe bezieht. Sei y po 
sitiv, und gleich dem Werthe eines ge 
gebenen Kettenhruches. Es soll unter 
sucht werden, oh der gegebene Bruch 
p 
— ein Näherungswerth von y ist. 
V 
Sei — in der That ein Näherungs- 
q 
V 
werth, -5- der ihm Vorhergehende. 
9« 
Sei also: 
+ 1 
«i+_l 
«2 + 
‘+1 
"n 
so muss sein entweder 
y = «+l_ 
a, -f- 
oder 
+ 1 
«n+A 
x 
y = «+l L 
«1+1 
«2 
‘ +J 
«„-1+1 
!+l 
X, 
V 
falls — ein Näherungswerth von y ist. 
Denn mit Hinweglassung von — gehen 
x 
diese beiden Brüche und nur diese den 
Werth V ~. 
1 
V 
Der — vorhergehende Näherungswerth 
Po 
von y war —. 
J ( J 0 
In der ersten Voraussetzung umfasst 
dann — 0 alle Partialnenner bis «. in 
9o . “- 1 
der letztem aber bis « —1, die Anzahl 
n 7 
der Nenner ist also im letztem Falle 
um 1 grösser als im erstem. 
Da nun 
ist, und da 
in der Zah 
schreitet, al 
tiv ist, so 1 
wenn im e 
eine der Za 
Ausserdei 
also 
dieser letzt« 
langte Crite 
Es ist nt 
und grösser 
sein muss, 
Falle — grö 
x 
der letzte Fa 
könnte. 
Ist also - 
v 5 
bestimmen, 
druck — kei 
Da nun 
y- 
ist, so muss 
genommen v 
gleiches Zen 
selbst das ei 
Setzt man 
cf a 
genommen w 
sei, auch d< 
Wenn abei 
q*+q o 
abgesehen vo 
9 
y + y 0 
ist, so