Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 112 Quadrat. Gleich, (unbestimmte).
also
5*
^ 1
317 < 2'
69
Es muss also in der That ^ ein Nä-
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herungswerth von
781
317
Wirklich erhält man:
781
317
= 2+1
2+1
6 + 1
2+1
1 + 1
1 + 1
4.
12) Es soll jetzt gezeigt werden, dass
sich mit Hülfe der Kettenhrüche immer
die Auflösungen der Gleichung
ax 2 +2 hxy-\-cy 2 =N
ergehen.
Sei zunächst N positiv oder negativ,
aber kleiner als YD, so sind dieWcrthe
von x und y in relativen Primzahlen zu
gleich in der Anzahl der Näherungs-
hrüche enthalten, welche sich ergehen,
wenn man die Wurzeln der Gleichung:
ax, 2 +2iz+c = 0
in einen Kettenhruch verwandelt.
Es ergeben sich auf diese Weise alle
Werthe von x und y, wenn a und N
gleiche Vorzeichen haben.
Beweis. Seien p und q ein Paar
entsprechende Werthe von x und y,
also
ap z -\-2bpq-\-cq 2 = N
oder:
(ap + hq) 2 —Dq 2 = an,
woraus sich ergiebt:
(«E +6 ). = B+ ^.
d. h. entweder:
oder
P _
-V.
Die beiden Wurzeln der Gleichung
ax, 2 +262+c = 0
sind aber:
+VW-h -fD-h
z = und z =
a a
Eine von diesen stimmt also immer mit
dem Werthe von — in Bezug auf das
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Vorzeichen der Quadratwurzel überein,
P
nnd wird aus -gefunden, wenn man
q~D
setzt. Sei z diese jetzt vollständig be
stimmte Wurzel, so ist immer:
d. h.
-N
Nach dem von'gan Abschnitte aber ist
p
— ein Näherungswerth von z, wenn ab
gesehen vom Vorzeichen:
P 9 1 , . 1
* =—- und cf<h-
q q- 2
war.
Es ist hier
N
Selbstverständlich aber kann, wenn p
und q gegeben sind, nur eine dieser
beiden letzten Formeln richtig sein.
yi>+y(D+^).
Nun war nach unsrer Annahme
N<yW
und demnach, wenn ^ positiv, d. h.
wenn a und N dasselbe Zeichen haben,
ist diese Bedingung immer erfüllt. Es
ist also jeder Werth von — unter der
q
Zahl der Näherungswerthe von z ent
halten.
Haben a und N das entgegengesetzte
Vorzeichen, so braucht nicht jeder Werth
von ein Näherungswerth von z zu sein.
Jedoch da die Zähler und Nenner der
Näherungswerthe immer wachsen, so kann
man q so gross nehmen, dass N kleiner
als ^(D+^) wird, vorausgesetzt, dass
