Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 114 Quadrat, Gleich, (unbestimmte). 
dieser Gleichung sind, erhält man, wie mit Hülfe der Feilschen Gleichung die- 
ohen alle übrigen, durch die Formel: 
yö =+ uyby 
i + u- 
selben Kesultate geben. 
Die gegebene Glei- 
15) Beispiel, 
chung sei: 
Dann aber wird; 
2 pt 
P. 
(bp + cq)u 
_ 2 ql + («P + H)u 
Hx 2 —Qxy—ly 2 — —7. 
Sie ist gelöst, wenn man # = 0, y — 1 
setzt. Wenn in die Formeln für p, 
und q v in Abschnitt 13) 
p=0, y~ 1, a —11, b= — 3, c~ — 7 
da 2f für t zu setzen ist, und die For- gesetzt wird, so kommt: 
mein in Abschnitt 9) II. den Nenner p -ll q ~t—3u. 
tu = 2 enthalten. ‘ . ’ 
t und u giebt die Entwickelung von 
14) Man braucht aber auch nur eine 
beliebige Wurzel der Gleichung y b 2 —ac=y 86 
_|_2ii-l-c = 0 ’ n e ’ nen Kettenbruch. Die ersten Nä- 
— , . . , , herungswerthe T und U, welche die 
in einen Kettenbrnch zu entwickeln. Gleichung 
Denn es lässt sich zeigen, dass die 
Näherungswerthe beider Wurzeln diesel 
ben Gleichungen auflösen. 
Ist nämlich 
r h qt+(ah+bq)u 
eine der Wurzeln der Gleichung, so ist 
auch 
pt + (cq+bp)u 
q a qt — (ap + bq)u 
eine solche. Es ist nämlich nur das 
Zeichen von t verändert. Offenbar aber 
kann man in der Feilschen Gleichung Dieselbe in einen Ketteil bruch entwickelt, 
tni' t Qnch r oor^on M 1-t- urnohonnr om 
< 2 —86m 2 =1 
erfüllen, sind 
T= 10405, H=1122 
(siehe unten). Es sind mithin also auch 
die kleinsten. 
Die eine Wurzel der Gleichung: 
11^-65-7 = 0 
ist 
ir- 
für t auch — t setzen. Mit wachsendem 
t und u nähert sich — der Gränze y D, 
u 
und es werden dann die Gränzwerthe 
von —, — bezüglich 
?i q% 
P yD-(cq+bp) p]/Dcq bp 
qY D + ap + bq qY D-(ap-\-bq) 
Das Froduct dieser Ausdrücke ist aber: 
p 2 (b 2 —nc)—{cq-\-bp')‘ 2 _ c 
q 2 {b' 2 —ac) — {ap-\-bq) 2 a' 
Ihre Summe: 
2pqD-\-2(ap-\-bq)(bp + cq) _ —26 
q' 2 {b 2 -ac) — (cip-\-bq) a a 
Beide Ausdrücke sind also die Wurzeln 
der Gleichung 
cts 2 -f 26s = c. 
(Siehe den vorigen Artikel). Ist also 
P i 
— ein Näherungswerth der einen Wur 
zel dieser Gleichung, so. ist — ein sol- 
q i 
eher der andern Wurzel, so dass beide 
führt zu folgender Rechnung: 
^ + 3 = 1 + 1 
11 
]/86+8_ 
: 2 ” 
^86+8 
8 + - 
11 
_|/86+3 
7 
_]/86 + 4_ 
~ 10 “ 
= 1 + 
= 1+- 
1+- 
_V / 86 + 6 _ 1 
■- ~ =3+ « 
, = VM+? =18+ , 
..Ä 9 =« + i 
5 m 7 
10 m„