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h. (unbestimmte). 
annte, welche sich 
en lassen. 
Auflösungen dieser 
mng kann dann n 
irden, dass es die 
+ 4-JV nicht über- 
diesen Werth von x 
so kommt: 
N 
c=g 2 , 
fl) 
>( b ~9) 
ass a sich in 2 Fac- 
lässt, deren einer in 
andre in b —g. Selbst- 
nber einer dieser Fac- 
sein. 
b—g 
—~ — n. 
Quadratische Reste (Zahlenlehre). 117 Quadratische Reste (Zahlenlehre). 
n f n — 2h, 
xy+cy" = N 
a r nxy-\-niny 2 — N 
a r x-\-my) = N. 
N auf alle möglichen 
oren: v, *', und setzt 
, a!x-\-my~v’, 
Auflösungen der vor- 
, wenn man die sich 
brochenen Werthe von 
ei gegeben die Glei- 
:«-t-3« 2 = 55. 
4-15=49 
dratzahl. 
Ferner muss man setzen: 
b-\-g-15, b—g — 1, 
a — 5, «' = 1, 
to=m = 3, t^L = H = 1, 
« « 
**' - 55, 
also 
*=11, *'=5 
oder 
* = 5, *' = 11. 
Die Gleichungen; 
ax-\-ny ~ v, u' x-\-my — *' 
geben: 
5a-+y = 5, .r-f3(/ = ll 
5ir+y = ll, a+3i/ = 5. 
Die ersten Gleichungen gehen keine 
ganzzahligen Werthe, die letzteren: 
x — 2, y = 1, 
und dies sind also die einzigen Auf 
lösungen unserer Gleichung. 
Quadratische Reste "(Zahlenlehre). 
1) Der Ausdruck Rest einer Zahl n 
nach Modul b ist gleichbedeutend mit 
dem Divisionsreste von a, der entsteht, 
wenn man durch Divisor h dividirt. 
Z. B. der Rest von 9 nach Modul 5 
ist gleich 4. 
Ist c der Rest von a nach Modul b, 
so ist a — c durch b theilbar. Die ge 
wöhnliche Schreibweise hierfür ist: 
a = c mod b, 
gelesen: a congruent c nach Modul b. 
Diese Bezeichnung rührt von Gauss her. 
Der Rest einer Zahl nach einem ge 
gebenen Modul ist also die kleinste Zahl, 
der sie nach diesem Modul congruent ist. 
Congruenzen können wie Gleichungen 
behandelt werden, und aus ihnen eine 
unbekannte Grösse ermittelt werden. So 
wird z. B. die Congruenz: 
5a-+3=2 mod7 
gelöst durch den Ausdruck 
x = 4, 
da 
23 = 2 mod? 
oder 
23-2 
durch 7 theilbar ist. 
Dies wäre eine Congruenz ersten 
Grades. 
Eine Congruenz zweiten Grades ist 
z. B.: 
2x 2 -f3.r—5 = 0 modll 
Eine Auflösung derselben ist: 
a - = 3, 
denn 
2-3 J +3-3— 5 = 22 
ist durch 11 theilbar. 
Ist die Congruenz 
x n = a mod h 
gegeben, so nennt man a einen Potenz 
rest für Modul b oder kürzer von b, 
namentlich wenn 
i s E« modb 
ist, führt a den Namen quadratischer 
Rest von b. 
Die Fragen, welche Zahlen quadrati 
sche Reste gegebener Moduln sind oder 
nicht, oder nach welchem Moduln gege 
bene Zahlen quadratische Reste sind oder 
nicht, bilden mit verwandten Gegenstän 
den einen sehr wichtigen Theil der Zahlen 
lehre, die Theorie der quadratischen Reste. 
Es wird jedoch, um dieselbe hier kurz 
zu geben, nöthig sein, die einleitenden 
Sätze über Congruenzen und Potenzreste 
mit anzuführen, was ohne Anstand wird 
geschehen können, da wir uns bei den 
betreffenden Artikeln auf das jetzt zu 
gebende beziehen werden. Bemerken 
wir noch vorläufig, dass jede Congruenz 
zugleich eine Gleichung ist, welche eine 
Unbekannte mehr enthält, als in ihrer 
Gestalt als Congruenz vorhanden ist, 
und welche in ganzen Zahlen aufgelöst 
werden soll. 
So z. B. sind die oben gegebenen 
Congruenzen: 
5x-1-3 = 2 mod7, 
2x 2 4-3.r—5 = 0 mod 11 
gleichbedeutend mit: 
5.r —3 — 2 —(— 7 y, 
2x 2 + 3x—5 = lly, 
wo x und y ganze Zahlen sind. 
Denn die beiden letzten Gleichungen 
drücken ja nur aus, dass 5.r+3—2 durch 
7 und 2a; 2 +3^—5 durch 11 theilbar sind. 
Stimmen also in der Bedeutung mit den 
Congruenzen überein. 
Jedoch führt die Form der Congruenz 
leichter zu den Eigenschaften dieser Aus 
drücke, als die der unbestimmten Glei 
chung, 
2) Ueber Congruenzen. Finden 
die beiden Congruenzen statt: 
a = b mod k und c = d mod k, 
so ist offenbar auch 
ac= itimod/i und <i+ c -b+d modÄ, 
19, g = 7.