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leste (Zahlenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 119 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
nur eine einer gege- 
lul k congruent.“ 
ja in dem Ausdruck 
positive oder negative 
so bestimmt werden, 
uck in eine beliebige 
m n auf einander fül 
lt. Dies kann aber 
Weise geschehen, da 
ind u + (n —l)/c um k 
Werth e ab weichen, 
die gegebene Reihe 
+nk = «, wo « die in 
ide entsprechende Zahl 
mod k. 
be von k Zahlen ent- 
mtcr einander für Mo- 
Werthe, Sie heisst 
incongruenter Zahlen 
isitive System incon- 
die Zahlenreihe: 
. . . k—1, 
ste System dagegen, 
-1, 0, +1, 
/£-1 
• +' a 
ist: 
—1+1, ... 0, 1, 
-1 * 
’ 2 
ä der ersten Reihe, 
benen congruent ist, 
enige sein, was wir 
t haben. Diejenige 
n Reihe, welche einer 
nt ist, nennen wir 
leinsten Rest, 
n incongruenter Zah- 
if einander folgenden 
kann man sich aber 
r Gestalt: 
2) . . . . a(x-\-k—1) 
beliebige, jedoch zu 
ahl ist. Denn auch 
len sich nicht 2 con- 
x + t) mod k, 
r a(s —t) = Q moi k 
sein; da aber a relativ einfach zu k ist, 
wäre s — t durch k theilbar, was unmög 
lich ist, da s und t kleiner als k sind. 
3) Wie schon angedeutet, theilt man 
die Congruenzen, wie die Gleichungen, 
nach den Graden ein, und es heisst 
demnach 
n , n—1 , _ n 7 
ax -+-hx + . . . + <7 = 0modA 
eine Congruenz »iten Grades. 
Wenn man jedoch von Wurzeln dieser 
Congruenz spricht, so versteht man da 
runter nur die unter einander incongru- 
enten Werthe derselben. 
Es ist nämlich, wenn x eine Wur 
zel ist, ebenfalls x -(- nk eine solche, 
wenn n eine ganze Zahl ist. Denn wenn 
man diesen Ausdruck für x in die ge 
gebene Congruenz setzt, kommt nur auf 
der linken Seite ein mit k multiplicirtes 
Glied hinzu, so dass der Ausdruck links 
noch immer durch k theilbar oder nach 
Modul k mit Null congruent bleibt. 
Die Congruenz ersten Grades hat im 
mer die Gestalt 
ax-=b mod k, 
sie ist gleichbedeutend mit der unbe 
stimmten Gleichung 
ax— kij — h. 
Mittels der Kettenbrüche und anderer 
Methoden (siehe Artikel: unbestimmte 
Aufgaben) gibt es immer ein Mittel, ein 
Wurzelpaar dieser Gleichung, oder eine 
Wurzel a: unsrer Congruenz zu finden, 
wenn a und k relativ einfach sind, aus 
der sich unendlich viel unter einander 
congruenter Werthe von der Form x-\-nk 
ergeben. 
Dies sind aber nach der obigen Er 
klärungsweise keine neuen Wurzeln. Es 
hat aber diese Congruenz überhaupt nur 
eine Wurzel, denn wäre a: t eine zweite, 
so musste 
o(a:-»i)e0 mod£, 
und da a und x relative Primzahlen 
waren, 
x—x l E0mod£ oder «Ea/imod/t 
sein, so dass x und x t eben nur eine 
Wurzel geben. 
Es möge jetzt eine unbekannte Zahl 
x mehreren Congruenzen genügen. Es 
sei also: 
I. x — a mod. A, 
II. x = b mod. B, 
III. x — c mod. C, 
wo wir voraussetzen, dass A, B, C re 
lativ einfache Zahlen sind. 
Aus der ersten Congruenz folgt 
x=:a-\-nA, 
wo n eine beliebige ganze Zahl ist 
Setzen wir diesen Werth in die 2te 
Congruenz, so wird: 
nA = b—a mod B. 
Ist n 0 irgend ein Werth für n, der diese 
Congruenz erfüllt, so ist der allgemeine: 
n = n 0 +sR, 
wo s eine beliebige ganze Zahl ist, also 
x — ii 0 A-\-sBA-\-a, 
d. h. 
a:E« + w 0 A mod AR; 
wenn wir den Werth von x in die Ste 
Gleichung setzen, wo man 
a + w 0 A = e 
nimmt: 
e+sAB^c mod C 
Ist s 0 ein besonderer Werth von s, so 
ist s 0 -j-Ci der allgemeine, wo t wieder 
eine ganze Zahl ist. Es kommt dann: 
x = e+s 0 AB + tABC, 
also, wenn 
e+s 0 AB = f 
gesetzt wird: 
x-f+ABCt 
oder 
x = f mod ABC. 
In derselben Weise fährt man fort, wenn 
x einer beliebigen Anzahl Congruenzen 
genügt. Man kann somit immer eine 
Zahl f bestimmen, die congruent mit a: 
für das Product sämmtlicher Moduln ist. 
Dieses Verfahren wird auch „Vereini 
gen“ der linearen Congruenzen I, II, 
III genannt. 
Bei spiel: 
a:E5mod7, a:E4mod9, a:E3mod5. 
Aus der ersten Congruenz ergibt sich 
x = 6±7n. 
Dies in die 2te eingesetzt, gibt: 
7« E —1 mod9. 
Durch Probiren, oder auf irgend eine 
andere Art kommt leicht eine Auflösung 
n„=5, 
also 
n = 5+9s, 
a: = 40+63s. 
Dies in die Ste Congruenz eingesetzt, 
gibt: 
63s E —37 mod5