ste (Zahlenlelire). 
su keinem Factor die 
m. 
ich also der Satz: 
;or t von p — 1 als 
immer 7 (t) Zahlen.“ 
je Zahl x nennen wir 
itive Wurzel der Con- 
modp 
gt somit, dass diese 
mitive Wurzeln habe. 
1 mod p 
primitive Wurzeln, und 
pweise primitive Wur- 
enannt. 
Sei z. B. die Primzahl 
ist p—1 = 22 = 2*11. 
n p—1 sind also: 
i 3 =H, *3 = 22. 
1 m od 23 
die primitive Wurzel 
e Factor, den sic mit 
leben der erste Factor 
infach ist, und die An 
den ist 7 Setzt 
alle Theiler 
st die Summe 
\-<,{£)+ • • •+(£) 
ahlen der Reihe einen 
meinschaftlichen Facto- 
y- mit p gemein haben. 
her hat doch jede Zahl 
ctoren (i = l und t-p 
und somit ist diese 
der Anzahl aller Zahlen 
i. gleich p. Da jedem 
itspricht, so kann man 
’ . • • setzen, und hat 
(*2)+ * * 
;t wurde. 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 125 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Die Congruenz 
x* El mod23 
2«e2-9e18, 2 7 E 2 • 18 E13, 
2 8 e2-13e3, 2 9 e2-3e6. 
Sinn die primitiven Wurzeln von 23 nennt. 
Von den Zahlen 1 bis 22 sind zu 22 
vpliitlv piTif^tfli * 1 ^ 7 q IQ 
hat y(2) oder 1 Lösung. In der That ist 17 ‘ 19> 2 1, also 7 (22) = 10. Offenbar ist, 
22 1 =484e 1 mod23, 5 29 El mod23 
da 483 durch 2o theilbar ist. Es ist und t |i e primitiven Wurzeln sind die 
also 22 die primitive Wurzel derselben. jj egte von 
Die Congruenz 5 l , 5 3 , 5 5 , 5 7 , 5, s , 5 l 3 , 5 l 5 , 5 l 7 , 5 l # , 5 21 
x ' 1 — 1 mod23 die Exponenten sind wieder die mit 22 
hat 7 (11) primitive Wurzeln. Da 11 relativ einfachen Zahlen. Es ergeben sich 
eine Primzahl ist, so wird 7 (11) = 10 die Reste: 
sein - 5, 10, 20, 17, 11, 21, 19, 15, 7, 14. 
Es ist in der That _ 
- 1 ,oa Die Art l *er Berechnung der Reste ist 
2 11 oder 2048 — lmod2o. offenbar die, dass man bei jeder Multi- 
Die übrigen primitiven Wurzeln dieser plication mit der Grundzahl, statt des 
Congruenz sind also die Reste der Po- Productes nur den Rest nach 23 nimmt, 
tenzen von 2, deren Exponent zu 11 So z. B. berechnet man den Rest von 
relativ einfach und kleiner als 11 ist, 2° folgendermassen: 
0.2’, 2* 2‘, 2- 2-, 2’ SS- 2*. 2‘". 8>=4> 2 . =8( 2 . =16 , 2 > = 32 = 9, 
Die Reste dieser Zahlen sind 
4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12. 
Die Congruenz 
x 21 El mod23 
hat 7(22) Wurzeln, die man im engem folgen. 
Primzahl: Primitive Wurzeln : 
Es mögen noch die primitiven Wur 
zeln der Primzahlen von 2 bis 37 hier 
9) Ist a eine primitive Wurzel von p, so ist 
so enthält die Reihe a°, et 1 , a 2 , a 3 •• • 14-u , 
p _2 a ^E Im modp 
« alle incongruenten Wurzeln der Con- und man hat den gatz 
gruenz 
/>-1 . , ind (/) + ind (in) — ind (/nt), 
x El mod», 
, . , welcher genau dem Fundamentalsatze der 
ohne dass natürlich dieselben alle auch The0 rie der Logarithmen entspricht; 
primitive Wurzeln sein müssen. 
lg (0 + lg(m)=lg(/m). 
Es folgen, wie in der Logarithmen- 
In dieser Reihe nun hat jede Zahl 
l, die nicht durch p theilbar ist, eine 
congruente. Sei diese a l . Es ist dann theorie » auch leicht daraus die Sätze: 
a^ = lmodp ind(/) — ind(wt) = ind/—'j 
und 1 liegt zwischen 0 und p—2. Wir - ^ ' 
nennen l den Index von l, und schrei- wenn 
ben dies: 
A = ind(/). 
Ist nun 
a} e l mod p, af* E m mod p, 
eine ganze Zahl ist, und 
ind(* ) = # ind(Z). 
Man kann also mit den Indices, wie 
mit Logarithmen rechnen, und bei allen