Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 132 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
also 
— <2, ii±ö >2 . 
P P 
, 2p 2p 
(< t- ,+1> T 
*-±,P-± 
~2~ + ~2f‘ 
Da nun - - ein iichter Bruch ist, so ist: 
. 2 P 
und 
t=E 
— ) = ^77—• Diesen Werth gibt 
\ 2 p/ 2 
7) — 1 
das letzte oder ^ -tc Glied, so dass 
Es ist also die Anzahl demjenigen Glic- jj e Anzahl der Glieder, welche Gleiches 
der, welche Eins geben, E(~)-£(r), geben, offenbar die oben gefundene ist. 
\k/ Kit/’ Wir wollen das Gefundene noch ein- 
während die Anzahl derjenigen, welche mal übersichtlich hinschreiben. 
Null 
war. Ebenso wird die 
gaben, E {j^j 
Zahl 2 durch — E^~^ Glieder ge- 
gegeben, und so fort. 
Die Zahl —wird durch 
E &r I) - £ (tt I) Gliea “ una e ” a ' 
! (¥i) QU °- 
0 geben: E^ Glieder, 
1 geben; Glieder, 
2 geben: Glieder, 
lieh ----- durch ^ ^ 
Z z 
k-3 
der gegeben. Das letzte Glied nämlich ist: - geben: 
z 
je(~— “)» alsodas (^2~ “) teoderdas 
(k 2k\ 
\2~ ~p) tC ’ 
k-1 
P 
ist mit 
welche Zahl gleichbedeutend —^— geben: 
Glieder, 
Glieder ; 
also da die Summe aller Glieder 31 war, so ist: 
Jf=0£(|) + i[e(|)-*(f)] + 2[4- Kt)]+ ■ • • • 
oder: 
31 
_k — 1 p~ 1 
-[ £ (f)+ £ { : 
I) 
+ 
+ -E 
(¥?)]• 
Wir wollen den Ausdruck in der Klam 
mer zunächst mit N bezeichnen, so dass 
man hat: 
Da nun k eine ungrade Zahl war, so hat 
ten wir: 
Ist aber k auch eine Primzahl, so zeigt 
das Bildungsgesetz der Reihe N, welche 
aus 31 durch Vertauschung der Zahlen 
p und k entsteht, dass auch: 
(!)=(-«" 
ist, dass man also hat: 
oder: 
p—1k—1 
W-M) 2 ^ 
In dieser letzten wichtigen Formel be 
steht das Reciprocitätsgesetz. Es lehrt 
augenblicklich bestimmen, ob p quadra 
tischer Rest von k sei, wenn man weiss 
ob k quadratischer Rest von p ist, vor 
ausgesetzt, dass k und p ungrade Prim 
zahlen sind. Der Fall, wo k gleich 2 
war, ist übrigens im vorigen Abschnitt 
direct behandelt worden.