te (Zahlenlehre). Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 133 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
p—k 
2p 
ter Bruch ist, so ist: 
Diesen Werth gibt 
to Glied, so dass 
ler, welche Gleiches 
oben gefundene ist. 
efundene noch ein- 
schreiben. 
| Glieder, 
Glieder, 
\-e№) Glieder, 
Glieder; 
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tr-lcrl)] 
m- 
lat : 
wichtigen Formel be- 
ätsgesetz. Es lehrt 
amen, ob p quadi-a- 
iei, wenn man weiss 
lest von p ist, vor- 
nd p ungrade Prim 
fall, wo k gleich 2 
n vorigen Abschnitt 
den. 
Das Reciprocitätsgesetz lässt sich auch 
schreiben: 
P—l k—i 
2 2 
da nämlich 
entweder +1 oder 
(f) 
ist, ist es gleich, ob mit diesem Aus 
druck multiplicirt oder dividirt wird. 
Ist eine der Zahlen p oder k von der 
Form 4«+l, so ist offenbar 
wenn aber beide von der Form 4«+3 
sind, so ist 
p—1 k—1 
In Worten lässt sich also das Recipro 
citätsgesetz folgendermassen fassen. 
„Die ungraden Primzahlen p und k 
sind gleichzeitig quadratische Reste und 
Nichtreste von einander, wenn eine der 
beiden Zahlen die Form 4«+-! hat; ha 
ben aber beide die Form 4u + 3, so ist 
p quadratischer Rest von k, wenn k 
Nichtrest von p ist, und umgekehrt.“ 
Dieser Beweis des Rcciprocitätsgesetzes 
ist von Gauss, welcher deren mehrere 
gegeben hat, die zum Theil in den 
,,Disquisitones arithmeticae“, zum Theil 
in spätem Abhandlungen enthalten sind. 
Wir geben noch einen Beweis von Di- 
richlet im folgenden Abschnitte. 
Das Reciprocitätsgesetz gehört zu den 
schönsten Sätzen der Zahlentheorie. Wir 
Bekanntlich hat man die Formel 
bemerken hier, dass cs sich nicht auf 
die quadratischen Reste beschränkt, son 
dern für die Reste beliebiger Potenzen 
sich analoge Sätze ergeben. Gauss hat 
dies schon für die biquadratisehen Reste, 
Jakobi für die cubischen dargethan. 
Indessen bezieht sich hierbei dies Ge 
setz nicht mehr auf die gewöhnlichen 
Primzahlen, sondern auf die complexen. 
(Siehe den Artikel Zahl.) Das allge 
meine Reciprocitätsgesetz, welches Kum 
mer aufgestellt und bewiesen hat, aber 
findet seine Amvendung im Allgemeinen 
nur für die idealen Zahlen, welche die 
ser grosse Arithmetiker in die Zahlen 
theorie eingeführt hat. (Siehe den Ar 
tikel Zahl.) Wohl zu bemerken ist noch, 
dass das Reciprocitätsgesetz für quadra 
tische Reste für alle Primzahlen k An 
wendung findet, mit Ausnahme der 2. 
Für diese wird es aber ersetzt durch die 
im vorigen Abschnitte bewiesene Formel: 
p*— 1 
welche man daher „Frgänzungsgesetz des 
Rcciprocitätsgesetzes“ nennt. 
Auch bei den höheren Reciprocitäts- 
gesetzen werden gewisse Primzahlen aus 
geschlossen, und finden sich demgemäss 
immer „Ergänzungsgesetze“ für dieselben. 
14) Wir geben in diesem Abschnitt 
noch den Dirichlet’schen Beweis für das 
Reciprocitätsgesetz. Es ist analytischer 
Natur, wie so viele Betrachtungen, wel 
che Dirichlet mit Bezug auf zahlentheo 
retische Fragen gegeben hat. 
f( x ) = i a o'^ a i c°sx+« 2 cos2x+o 3 cos3.r+ • • •, 
wo 
2 r n 
a m - ~ I f{ (t ) cos mad«, 
Tl*ß Q 
welche richtig ist, so lange x zwischen 0 und n liegt. Diese Formel heisst 
Fourriersche Reihe (siehe den Artikel: Quantität (imaginäre)), und aus ihr ergibt 
sich, wenn man x = 0 setzt: 
Wir wollen noch setzen: 
S =00 
f (0) = ? a 0 + -2" a s • 
s = l 
2/i Tr 
b s = — j' cos snf(a)da, 
iahl ist, so ist offenbar: 
bs = —^ cosSß/(«)d«+cos saf(a)dn + ••• + j 
wo h eine positive ganze Zahl ist, so ist offenbar 
Tt _2tt 
(2h—l)n 
> saf(a)da