Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 134 Quadrat, Reste (Zahlenlehre). 
Sei jetzt k grade, so ist, wenn man 
setzt: 
,(*+!)* 
a — kn + y 
/ cossaf(a)da = / cos{skn+sy) f(kn+y)dy ~ j cos saf(kn + «)d«. 
J kn J ' o 
Sei k nunmehr ungrade, so setze man 
« = (Ar+l)7i+2/; 
es wird: 
(*+1)ti -n n 
J cos saf(«)da=—j cos syf[{k+l)n+y]dy- j cos saf[(k+l) n-a] da, 
kn 
also: 
2 r 
*S — — I [/(«)+ ^(271 «)+/(27I + «) + /*(4« — «) + • • • • +/’(2*71 — «)] COSSrtrf«. 
n *f n 
Es ist also b s ganz von derselben Form als das Integral, welches den Werth von 
as angab, nur dass für f(x) der Ausdruck: 
((•*) + №*—•x) + f(2n+x) + f{4at—x) + f{±n+x) + • • • f(2hn—x) 
zu setzen ist. Dieser Ausdruck ist also gleich 
h s = oo 
+ I 4s cos sx. 
Wenn man also 
setzt, so wird: 
/■(0)+2/(2 Ti ) + 2/’(4 Ti)+ 
oder 
s = 1 
x = 0 
+2/’[2(ä-1)7i]+/’(2Att) = ^+ 5 A°°*, 
2 ‘ ~ 
5 = 1 
s = A—1 
/’(0)+/’(2*77)+2a f(2 sn) = b -±+ bs. 
5=1 2 , =1 
Ist in dieser Formel * eine grade Zahl, also gleich 2 ( «, und 
f(x) = cos 
so kommt: 
8/un' 
S — 2/U—1 s 2 1 
cost) + cos(2utt) + 2A cos —— = —/ 
¿/u nj o 
4uTI 
5 = 1 
cos -—d« 
8,un 
2 5 = CO p4:/Un a 2 
+ —A / cos s « C0S5—da = 
o/un 
—A r 
7I S = 1 J c 
v[/! ”{•••• cos (è -3 “) ! cos (è" 2 ") + cos (èr") 
+ ° os 8+ + COf, (8+ + ' , ) + COS (é +2 ") + C08 (è +3 “) + ■ • W 
eine Reihe, die nach beiden Seiten hin sich ins Unendliche erstreckt. 
Es ist auch ohne Weiteres klar, dass wenn man setzt: 
x* 
f(x) = sin 
8/un 
Quadra 
man aui 
sind 
+ sii 
+ sh 
Seti 
wenn ds 
gegen 
wenn d; 
Füh 
zu setzet 
Die 
dass c = 
man gleit 
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wie leich