(Zahlenlehre), 
kommt : 
» r) 
(rzlY 
V 2 / yp 
mit y (p> 8), so 
s = 7 J) s 2 ni 
8p)= 2 e |~ 
s = 0 
•)]/8p. 
vorletzten For- 
ebenso für s = 4; 
en bezüglich die- 
= 1, s = 2, s = 3. 
dass man erhält: 
P_1 (w) 
p-1 
=• 2 (w> 
n mein : 
p*-l 
1) 
, welches man also 
hterc Anwendungen 
irmen, und in den 
eiche in dem ange- 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Ausserdem ergibt sich: 
141 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
(p IV s -„ i 
f*V“srv (/,,-)=/ .p = 
V' s = 0 
s 2 /t 
2ni 
1 + 2 2 
s = 1 
Es ist aber 
2ni 
2 ni 
ah —+L bh '■ 
2e V + Se V +1 = 0. 
Subtrahirt man also, so erhält man: 
2 ni 
fclV ha 
iy 2 ' r,=* ' 
hb 
7 471 i 
ha — 
=l+2Ae P 
2ni 
— Se 
oder, da die a und b zusammen alle Werthe von 1 bis p—1 umfassen: 
(V 2 V-=“-n-) 
V ,«=i K v' 
2 
7> 
«i = l 
Es ist nämlich jedes Glied, wo m Ferner ist: 
quadratischer liest ist, mit +1, und wo 
m Nichtrest ist, mit —1 multiplicirt. 
Jedoch darf hier h nicht durch p 
theilbar sein; ist dies der Fall, so wird also: 
jede der beiden Summen rechts gleich 
Eins, also die linke Seite gleich Null. 
(sHSHa- 
| = (-1).(-1)=+1, 
Zahl quadratischer Rest einer Primzahl 
sei.“ 
Sei die Primzahl z. B, 101; es fragt 
sich ob 77 ein quadratischer Rest von 
ihr ist oder nicht, d. h. ob 
+ 1 oder = — 1 
15) Anwendungen des Recipro- , , . . , .. , „ , 
c i t ä t s g e s e t z e s. d. h. 77 ist quadratischer Rest von 101. 
Eine der einfachsten Anwendungen ist „ ^ ir fra |™ ferner ob 43 quadratischer 
die, „zu bestimmen, ob eine gegebene cs von lst ‘ 
Die Zahl 883 hat die Form 4« + 3, 
also: 
(Ä)-(S)— 
■©■©(*) 
(IHI) =+1 
(ÄHfHiHiHf)— 1 
oder 43 Nichtrest von 883. 
Man sieht, dass man bei diesem Ver 
fahren immer auf die Formen |-i-| = l, 
\P 1 
p 2 —1 
wird. Man hat: 
(num (üv 
\101/ \101/ \101/ 
Da 101 von der Form 4« +1 ist, so 
wird: 
Es kann nämlich für 101 der Rest da 
von nach 7 geschrieben werden. Da 
aber 7 von der Form 4«+3 ist, so hat 
man : 
(i)-(h-(ö-- 
oder 
-1) 
8 
gelangen muss. 
Stellt man jetzt die Frage: „Welche 
Zahlen in der Reihe 1, 2, 3 • • . p—1 
li