Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 142 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Quadra 
“i> “a ' ' * a p—\i 
~ 
die Nichtreste mit 
i) ‘ * * bp-1 
2 
bezeichnen. 
Berechnet man dann die Reste aller 
Quadratzahlen: 
sind quadratische Reste von p, wenn p Die Berechnung der Reste der Quadrate 
eine ungrade Primzahl ist?“ so ergibt ist hier in der Weise geschehen, dass 
sich die Antwort aus folgender Betrach- man zu dem Reste von s 2 die Zahl 
tung. Wir wollen wie oben die Reste 2s+1 addirt, um den Rest von (s + 1) 2 
mit zu finden, es beruht dies einfach auf der 
Formel: 
s 2 +2s + l = (s+l) a . 
Die quadratischen Reste von 37 sind 
also: 
1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 
26, 27, 28, 30, 33, 34, 36. 
Die Nichtreste: 
2, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 22, 
23, 24, 29, 31, 32, 35. 
Wir lösen aber jetzt mit Hülfe des 
Reciprocitätsgesetzes die umgekehrte 
so hat man alle quadratischen Reste, Frage: 
und die übrigen sind Nichtreste. „Von welchen Primzahlen ist eine ge- 
Seien z. B. die Reste und Nichtreste gebene Zahl Rest oder Nichtrest.“ 
von 37 zu bestimmen: Wir haben oben bereits gefunden, dass 
1^ = 1, 2 a = 4, 3 2 e9, 4 2 e16, 5* e25, 
6*e36, 7 1 e12, 8 2 E12+15E27, 
9 2 E27 + 17E7, 10 2 E7 + 19E26, 
ll 2 E26+21E10, 12 2 E10+23E33, 
13 2 E33+25E21, 14 2 E21+26Eil, 
15 9 e11+29e3, 16 2 e3+31e34, 
17» E 34+33E30, 18’E30+35 E 28. 
I 2 , 2 2 , 3 2 
(¥)’ 
(?)■ 
dagegen : 
(f) =_ 
+ 1 ist, wenn p=4n+l, 
1 ist, wenn p — 4m+3 
ist. 
Was den Ausdruck 
anbetrifft, so war: 
(II 
^—^ = +1, wenn p = 8n+l oder ;> = 8n+7, 
^—^ = —1, wenn p = 8n+3 oder p = 8»+5 
war. 
Beide Factoren rechts haben positives Zeichen, wenn p von der Form 8m+1 ist, 
negatives, wenn p von der Form 8m + 3 ist; in den beiden andern Fällen haben 
sie ungleiches Zeichen. Es ist also : 
^—?^ = +l, wenn p = 8n+l, oder p = 8«+3, 
^= —1, wenn p = 8n+5, oder p = 8n+7. 
Ist q nun eine beliebige ungrade Primzahl, so ist entweder +^ oder —q von 
der Form 4m+1, d. h. 
+_y E1 mod4 
Es ist aber: 
(i)=d)(f)=(-:)(f)(-) 
p—i <?—i 
2~ 2 
Ist q 
positive 
(l] 
\p) 
Ist q 
negative 
und auc 
(-1)' 
also in 
( 
also : 
Das Zeicl 
dem q ~ < 
Ist nui 
q, so ist 
p~qn + a 
Ist p e 
Reihe : 
p — qn 
wo die o 
schrieben« 
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Ist als« 
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Primzahle 
quadratisi 
von dener 
Ist q r 
—q von c 
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tischer Re 
ergibt si< 
B eispi 
nen 37 qi 
also die Î 
37m+1, 
37m+9, 
37m+16, 
37m+27,