leste (Zalilenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 145 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
ejenigen linearen For- 
Bezug auf jedes der q 
reiche alle quadratische 
iichtreste sind, so ist 
ien; 
-l)(r /3 -l).. 
der Factoren q ist. 
Anzahl Factoren ne- 
können alle bis auf 
immer beliebiges Zei- 
man also jedem Fac- 
stzten irgend ein Zei- 
h—i 
2 Combinationen 
m, so dass man im 
earformen zu bilden, 
Falle hat, die Linear- 
2 +ß • • • zu vereinen 
so werden die Grös- 
• mit einander multi 
man das Product L 
)=+i 
ine der Formen haben: 
A 2 , Ll + A 3 • • >, 
A 2 , A 3 , • • • sich aus 
die vereinigt wurden, 
lestimmen lassen. Je- 
A l , A. 2i A 3 kleiner 
nigen Zahlen, welche 
zu L relativ einfach 
en mit q(L) bezeich- 
-1) (93-I) • • •*). 
sst sich leicht bewei- 
Igemein 
ifachen Factoren sind, 
sen anzeigen, in wei 
nen. 
den, die kleiner als 
nun durch a theilbar 
m • a 
IT ' 
•—. Es sind dann 
n 
Eine dieser Zahlen entspricht sicherlich 
aber dem Werthe von A lt A % • • •, da 
p = Lt-{-A ja eine Primzahl ist. 
Da nun die Anzahl der p, welche 
quadratische Reste von L waren, 
betrug, so entspricht die Hälfte derjeni 
gen Zahlen, welche kleiner als L und 
zu L relativ einfach sind, den quadrati 
schen Resten, die andre Hälfte den Nicht 
resten. 
Wir setzen ähnlich wie oben: 
p = L<+A l ,A a ,A 3 - wenn 
durch a nicht theilbar 
ifh+i’ 
m L 1\ 
m — m\l I 
a \ aJ 
Durch h sind theilbar: 
b, 2b, 36 ... 
0 
Von diesen sind durch a diejenigen nicht 
theilbar, bei denen der erste Factor: 
1,2,3...^ 
die Zahl a nicht enthält. Die Anzahl 
derselben ist also 
t 
Es ist also weder durch a noch dnreh 
b theilbar die Anzahl: 
Es zeigt sich ebenso, dass die Anzahl 
der durch a, b, c • • • nicht theilbaren 
Zahlen beträgt: 
dagegen: 
p = Ll + B l ,B i ,B 3 • • •, wenn = —1 
ist. 
Die Anzahl der A und der B ist also 
gleich. Die Grossen A und B ergeben 
sich nach Abschnitt 3) durch Vereinigung 
der Congruenzen: 
x = a modgq, x~a'xaodq 2 , 
x~b" mod^j • • •, 
wo ein a oder b zu nehmen ist, je nach 
dem p ein Rest oder Nichtrest des ent 
sprechenden q ist. 
II) Betrachten wir jetzt den Fall, 
wo der Factor —1 hinzukommt, so ist: 
Es gibt also 2 verschiedene Zeichen- 
combinationen, für welche |Ül| gleich 
V p / 
+ 1 ist (unter h wieder die Anzahl der 
q verstanden), und für jede dieser Com- 
?i-l f / a -l ?3-l 
hinationen 
Li- 
2 2 2 
nearformen. 
Die Anzahl dieser Linearformen ist 
also: 
toi-iKf.-lKy.-i) •••; 
da aber hier zu den Congruenz;en 
x~amodq v , x^a' modq 2 , 
x E b" mod q 3 • • • 
p—1 
wegen des Factors (—1) 2 noch hinzu 
tritt : 
4-i-)K)H) • • • ■ = 
x — lmod4 oder a: = 3mod4, 
so beziehen sich die zu lösenden Con- 
§ 
1 
"5 
1 
M 
'cT' 
1 
1 
gruenzen auf Modul 4L, und man hat: 
a, b, c • • • 
pzz^Lt+Ai, A 2 , A 3 • 
:-l)o"~ 1 (6-l)6^ _1 (c*-l)cî'. -1 •••, 
wenn = 4-1 ist. Dies ist aber wie- 
so dass man hat 
\ ]) / 
y(m) = (a-l)« ß-1 (b-l)b ß ~ 1 
der die Hälfte aller möglichen Formen. 
Denn 
T-H 
1 
tH 
1 
7 (4L) = 2(7 1 — 1) (7 2 — 1) (q 3 1) • • • 
Bei unserm Ausdrucke L waren alle 
Factoren nur in erster Potenz zu neh 
men, so dass man hat: 
u=ß=y= • • • =1, 
a = q l , b — q 2 , c~q 3 • • -, 
also: 
q(L) = (q l -l) (y a —1)?,-1) ... 
ist doppelt so gross als die Anzahl 
der Linearformen, welche +L zum qua 
dratischen Reste von p machen. Ist 
+L ein Nichtrest, so kann man eben 
falls : 
p = iL(+BB 2 , B 3 ••• 
setzen, wo die Anzahl der B derjenigen 
der A gleich ist. 
10