146 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre) 
III) Sei endlich 
/+L\ /+2\/+oA/+o 2 \/+<7 3 \ Mallte aller möglichen Fora 
y——j — —~J • • • Reste wie für die Nichtreste. 
P P P P ^ T> • 1 ITT* i 
und man hat auch in diesem Falle die 
Hälfte aller möglichen Formen für die 
Der Ausdruck 
Zeichencombinationen : 
o9l~l Î2-1? 
, . Beispiel. Wir suchen alle Prim- 
|±r) gab nach Abschnitt zahlen, von denen -15 quadratischer 
\ p ' Rest ist, oder die Factoren von a; 5 +15 
15) für jedes Vorzeichen je 2 Linear- s i n d. 
formen, die sich auf den Modul 8 be- _15-_g.5 
zogen. Man hat also für jede der 2' Da 3 von tler Form 4^ + 3, 5 von der 
Form 4n+l ist, so setzt man: 
(^)=(t 8 ) © = (!)(!)■ 
Es findet der Fall I statt. 
3 hat zum quadratischen Reste 1, 
3 hat zum quadratischen Nichtreste 2. 
5 hat zu quadratischen Resten 1, 4, 
5 hat zu quadratischen Nichtresten 2, 3. 
Es sind also für die Fälle, wo 
2 2 2 
Linearformen, d. h. im Ganzen: 
2(?,-l)(y a -D(?s-l) • • • 
von der Form 
4Ll-\-A l} A 2 . . ,, 
denn da L den Factor 2 hat, ist 
<?s=4£ • • • 
Es ist aber 
</(4L) = 2 7 (h) = 4(r /l -l)( ?2 -l) 
(r /3 -l) . . . 
+1 
sein soll, zu combiniren die Congruenzen : 
x = l mod 3, x = l mod3, æ = 2mod3, a; = 2mod3, æ = lmod5, 
a; = 4mod5, a? = 2mod5, x~3 mod5. 
Man erhält die Werthe von x für 
jeden der 4 Fälle: 
«=15<+1, l5f+2, 15i+4, 15f+8. 
Diese Formen haben —15 zum quadra 
tischen Reste. 
Da ausser 1, 2, 4, 8 noch die Zahlen 
7, 11, 13, 14 zu 15 relativ einfach sind, 
so ergeben sich für die Primzahlen, von 
denen —15 Nichtrest ist, die Formen: 
a; = 15i + 7, 15f + ll, 15i + 13, 15i + 14. 
Selbstverständlich könnte man auch 
statt dieses Verfahrens jede der Zahlen 
1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 
untersuchen. Z. B. 
also gehört 2 in die erste Klasse u. s. w. 
17) Erweiterung des Recipro- 
citätsgesetzes. 
Sei jetzt P ein Product ungrader Prim 
zahlen und setzen wir: 
wenn 
GK)®© 
p=ppiPi 
ist. Mit andern Worten, es soll 
den Ausdruck -f-1 oder — 1 bedeuten, 
je nachdem das Product rechts den einen 
oder den andern Werth hat. Da sich 
jede Zahl in Primzahlen zerlegen lässt, 
so lässt sich der Werth dieses Productes 
nach dem Vorigen immer bestimmen, 
was auch k sei. 
Es folgt aus unserer Annahme die 
Formel: 
Gf e )=» 
Nach dem Vorigen aber ist auch: 
(£)=G)G)- 
Es ist ferner immer 
(t) = (- 1 )”- 
Dieser Satz war nämlich erwiesen für 
den Fall, dass P eine Primzahl war. 
Gilt er aber für ein beliebiges P, so 
gilt er auch für P' -Pp, wo p eine un 
grade Primzahl ist, denn es ist 
aber 
Pp-1 P+p-2 _ Pp-P-p + 1 
2 2 ~ 2 
- (P-l) (P-1) 
2