Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 148 Quadrat. Reste (Zahlenlehre), 
denn es würde sich, wenn man P ne- so ist auch 
gatiy werden lässt, nicht die linke, wohl 
aber die rechte Seite ändern. 
Dagegen findet der Satz 
= (-l) 
P 2 -1 
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offenbar noch Anwendung. 
Hieraus lässt sich erweisen: 
„Dass das Reciprocitätsgesetz dann 
noch gilt, wenn eine der Grossen P oder 
Q negativ, nicht, wenn es beide sind.“ 
Denn sei Q negativ, so ist: 
&) = ©• 
Multipliciren wir diese Gleichung mit; 
Q-1 
1 = ^—^(—1) 2 , welche Gleichung 
jedoch nur richtig ist, so lange Q po 
sitiv ist, es kommt dann: 
Q—1 P-1 
ein Satz, der falsch wird, wenn auch Q 
negativ ist. 
Ist dagegen P positiv, Q negativ, so 
folgt die Richtigkeit des Reciprocitäts- 
gesetzes schon aus dem Obigen. 
18) Quadratische Reste von 
nicht einfachen Zahlen. 
Damit 
x 2 ~k modm 
ist, wo m eine beliebige Zahl, also gleich 
ist, muss x einzeln die 
9 + l P 
eine Lösung. 
Es lässt sich aber t so bestimmen, 
dass: 
(g + lp a ) 3 —k = 0 mo&p (t ^ ra 
wird, wo a r eine beliebige Zahl ist, die 
jedoch kleiner als oder höchstens gleich 
« sein soll. 
Die letzte Congruenz gibt nämlich: 
g 2 — k-\-2gtp a -{- t 2 p 2C( ~0 modp^'f' 1 ^ 
oder: 
q 2 — k 
+ 2</i+i 2 p fi = 0 modp'^. 
t 2 p K ist zugleich ein Vielfaches von 
g 2 -k 
p , und : 
offenbar eine ganze Zahl. 
P 
n ft y 
PP. P ; 
Es muss alse auch sein: 
q 2 — k rj 
2g t + = 0modp . 
P a 
Es ist k relativ einfach zu p, also 
auch g 2 , denn sonst wären gleichzeitig 
g 2 —k und g 2 , also auch h durch p 
theilbar. Es sind also auch g und 2g 
n' 
relativ einfach zu p . Dasselbe kann 
g 2 —k 
man auch für beweisen. Denn 
wäre letzterer Ausdruck durch p theil 
bar, so wäre: 
Congruenzen 
x 2 ^kmoàp CÎ , x 2 E&modp,^, 
x 2 ~k modp 2 ^ 
g 2 ~k modp a 
und man könnte n-f-s an die Stelle von 
« setzen. Unter diesen Umständen aber 
ist die Congruenz 
erfüllen. 
Es lässt sich also die Frage nach den 
quadratischen Resten der zusammenge 
setzten Zahlen auf die der Potenzen von 
Primzahlen zurückführen. 
Sei jetzt also 
x 2 E k mod p c \ 
wo p eine Primzahl ist, so beweisen 
wir, dass dieselbe für jeden Werth von 
n auflösbar ist, wenn dies für «= 1 
stattfindet, also k quadratischer Rest von 
p ist. 
Dieser Beweis wird wieder durch In- 
duction geführt. Genügt x=g der Con 
gruenz 
.r 2 E k mod p fl , 
q 2 — k 
2gt— = 0 modp 
P H 
immer lösbar; woraus denn folgt, dass 
auch die Congruenz 
x 2 ~k modp ft n 
eine Lösung hat, und mithin dies auch 
für 
x 2 E k modp ft 
gilt, wo der Exponent von p beliebig ist 
„Es hat aber die Congruenz 
x 2 ~k modp a 
immer 2 Wurzeln, wenn deren eine vor 
handen ist.“