Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 150 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Quadr 
Zahl ist (vergleiche die Note zu Ab 
schnitt 16), ausgenommen, wenn A = 2. 
„Im Falle, dass a quadratischer liest 
von A sein soll, muss 
a 2 =lmodA 
sein.“ 
Sei jetzt A — p die Potenz einer un- 
graden Primzahl. 
Es wurde dann im vorigen Abschnitte 
gezeigt, dass die Hälfte der Zahlen a, 
welche kleiner als A und relativ einfach 
zu A sind, quadratische Reste, die an 
dre Hälfte b Nichtreste von A gibt. 
Für die erstem wird immer sein 
<l(A) 
«2 =1 modA. 
Beweisen wir jetzt, dass diese Congruenz 
für die Nichtreste b nicht stattfinden kann. 
Wir haben zu dem Ende nur zu zei 
gen, dass unsere Congruenz höchstens 
y(£) 
2 
es eben soviel Reste gibt, so können 
keine Nichtreste darunter sein. 
Dies lässt sich aber folgendem)assen 
zeigen. Angenommen, die Congruenz : 
9(P) 
«2 =: 1 modp” 1 
habe höchstens 'L^LA. 
so ist auch 
Min v(p w+1 ) 
2 2 
a ~n — — 1 modp, 
da p eine ungrade Zahl war. 
y (p m ) 
o 
Der Ausdruck a kann aber of 
fenbar nur congruent +1 oder —1 nach 
m 
modp sein. Denn nach dem Fermat- 
scheu Satze erfüllt 
'/(/>'") 
x~a 
immer die Congruenz 
x* -1 mod p , 
kann also nur dieWerthe -fl oder —1 
haben, da diese Congruenz (siehe den 
vorigen Abschnitt) nur 2 Auflösungen 
hat. Ist also 
Auflösungen haben kann, denn da 
2 - a m 
a — ( modp , 
wo f einen der Werthe -fl oder —1 
hat, so muss immer auch 
Auflösungen, so 
2 
beweisen wir, dass unter dieser Voraus 
setzung die Congruenz : 
höchstens 
Denn ist 
, ™+f 
9 KV ) 
' ^ El modp’ 
<f(.P m+i ) 
+1 
haben kann. 
y(« m ) 
2 _ i , m 
— 1 modp , 
so ist auch 
;1 modp , 
v(p m ) 
2 , m 
a — e mod p 
sein. 
Jede Auflösung der Congruenz 
■M1 + A 
2 m+1 
a El modp 
ist natürlich auch eine der Congruenz 
O tn 
a = lmodp . 
Die Auflösungen der letztem aber sind, 
wie wir gesehen haben, mit denen von 
y (P m ) 
2 m 
a ~ 1 mod p 
identisch. 
Es muss also jede Auflösung von 
d. h. 
i(p" +l ) 
. 2 
-1 modp 
mfi 
einer solchen von 
— 1 modp . 
Ist dagegen 
y (p m ) 
2 _ 
= -1, 
y (P m ) 
a — 1 modp 
nach Modul p m congruent sein. D.h. es ist 
m 
X = <l-f Mp . 
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