Quadrat (magisches oder Zauber-). 9 Quadrat (magisches oder Zauber-). 
Quadrat (magisches oder Zauber-). 
Seine Entstehungsweise ist die folgende. 
Man theilt ein Quadrat in eine Anzahl 
kleinerer Quadrate. In jedes der letz 
teren wird eine Zahl geschrieben, welche 
alle eine arithmetische Reihe bilden. 
Die Zahlen müssen dann so angeord 
net werden, dass alle diejenigen, wel 
che in einer vertikalen oder in einer ho 
rizontalen Reihe stehen, oder eine Dia 
gonale bilden, dieselbe Snmme geben. 
Das einfachste Zauberqua 
drat ist das hier befindliche. 
Es sind die 9 Zahlen 1 bis 
9 so vertheilt; dass die senk 
rechten Spalten; 4, -3, 8 — 
9, 5, 1 — 2, 7, 6, eben so 
wie die horizontalen 4, 9, 2—3, 5, 7— 
8, 1, 6 und die Diagonalen 4, 5, 6 — 
2, 5,8 dieselbe Summe, nämlich 15, 
ergeben. Die Anzahl der Zahlen muss 
offenbar immer eine Quadratzahl, also 
gleich n 2 sein, und die constante Summe 
der einzelnen Reihen wird der nte Thcil 
der Summe aller vorhandenen Zahlen sein. 
Sie wird also in unserm Beispiele 
1+2+3+4+5 + 6-f-7+8-|-9 
3 
betragen, denn es sind n Reihen (hori 
zontale oder vertikale) vorhanden, die 
zusammen alle gegebenen Zahlen ent 
halten und da eine jede Reihe dieselbe 
Summe gibt, so muss letztere der ute 
Theil der Gesammtsumme sein. 
Wir wenden uns zu einigen Regeln 
über die Anfertigung von Zauberquadra- 
ten, wobei wir annehmen wollen, dass 
die Glieder eines solchen die natürlichen 
Zahlen von 1 an seien. Auf diesen Eall 
lassen sich nämlich die andern zurück 
führen. Wir unterscheiden folgende Fälle : 
Eall I. Die Seite des Quadrats ent 
halte eine ungrade Anzahl von Theilen, 
also 2u + l. 
Zauberquadrat mit 25 Feldern. 
11 
18 
25 
2 
9 
10 
12 
19 
21 
3 
4 
6 
13 
20 
22 
[ 23 
5 
7 
14 
16 
1« 
24 
1 
8 
15 
Auflösung. Man schreibt die Zahl 
1 in das mittlere Feld der untersten Ho 
rizontalreihe, und fährt fort die natür 
lichen Zahlen 2, 3 u. s. w. in folgender 
Zauberquadrat mit 49 Feldern. 
22 
31 
40 
49 
2 
11 
20 
2! 
23 
32 
41 
43 
3 
12 
13 
15 
24 
33 
42 
44 
4 
5 
14 
16 
25 
34 
36 
45 
46 
6 
8 
17 
26 
35 
37 
38 
47 
7 
9 
18 
27 
29 
30 
39 
48 
1 
10 
19 
28 
Weise zu schreiben, jede Zahl kommt 
rechts von der vorhergehenden in der 
unter derselben befindlichen Reihe, z. B. 
7 rechts unter 6 zu stehen. Würde in 
dieser Weise irgend eine Zahl, wie z. B. 
schon 2 unterhalb der untersten Horizon 
talreihe kommen, so substituirt man an 
deren Stelle die oberste Reihe derart, 
dass die Yertikalreihe der oben gegebe 
nen Regel nach gewählt wird. Ebenso 
wenn eine Zahl rechts von der letzten Yer 
tikalreihe stehen würde. Sie nimmt dann 
ihren Platz in der ersten Vertikalreihe 
links, ohne dass die Horizontalreihe, die 
sich aus unserer Regel ergibt, geändert 
wird. Z. B. in dem aus 25 Feldern be 
stehenden Quadrate müsste 2 in der un 
terhalb 1 befindlichen Horizontalreihe 
und im vierten Felde derselben stehen, 
da eine solche Horizontalreihe nun nicht 
vorhanden ist, so wird 2 ins vierte Feld 
der ersten Horizontalreihe kommen. 23 
müsste in die rechts von 22 befindliche 
Vertikalreihe und im vierten Felde der 
selben stehen, da sich aber 22 in der 
letzten Vertikalreihe befindet, so kommt 
23 ins vierte Feld der ersten Vertikal 
reihe. Ist ferner der Platz, auf welchen 
nach diesen Regeln eine Zahl gestellt 
werden muss, schon ausgefüllt, so ist die 
fragliche Zahl vertikal über die zuletzt 
geschriebene zu stellen. Z. B. in dem 
aus 25 Feldern bestehenden Quadrat ist 
das Feld rechts und unterhalb der 5 
schon durch 1 ausgefüllt, 6 wird also 
über 5 geschrieben, der Platz der 7 er 
gibt sich nach der ersten Regel. Nach 
diesen Regeln sind die beiden hier hin 
zugefügten Quadrate construirt. 
Beweis der Regel. Unser Quadrat 
besteht aus (2n+l) 2 Feldern, auf denen, 
wie leicht zu sehen ist, je 2n-f-l auf ein 
anderfolgende Zahlen so nach unserer Re 
gel gruppirt werden, dass unter denselben 
4 
9 
2 
T 
’ 5 
T 
8 
1 
6