(Zahlenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 153 Quadratrix (Geometrie). 
O ^ 
: sein, WO /X 
ungrade Zahl — 1 
von 2 M , da a; 2 4-1 
der von der Form 
— — 1 mod 2 |U • • • 
oben lösen, und 
ucten von zweien 
uent — 1 sind, so 
, so ist also 
nod2 w . 
zwei ist, hat man 
mod2L 
A die allgemeinste 
, a, 
l P 2 • • •> 
kann: 
--fl mod ji 
Es ist also rung dieses Satzes durch Kummer ist 
/in bereits erwähnt. 
'LS-1 ' Die Theoi’ie der quadratischen Reste 
2 ^ von zusammengesetzten Zahlen ist hier 
nur angedeutet. Ausführlicheres enthal 
ten die Disquisitiones arithmeticae von 
Gauss, sowie die Theorie des nombres 
und auch durch 2 , also auch theilbar von Legendre (3. Ausgabe, Paris 1831), 
durch A. Dieser Satz gilt auch wenn unc i t ji e zahlentheoretischen Vorlesungen 
von Dirichlet (herausgegeben von Dede- 
kind). 
theilbar durch das Product 
: 0 ist. 
Setzt man 
^>1 aber a l ~c( 1 —a 3 . . . =0, 
also 
A-2 p , 
so ergibt sich: 
«-!»—1 
P 
a 2 
-1 mod p', 
also: 
und 
also: 
d. h. 
q(A) = 2 u - 1 p“~ 1 (p-l), 
o 1 
t - (—Ij mod p 
— 1 mod 2 W , 
= lmod2' M , 
TJA) 
a El mod (2 ,u p m ). 
Ist A eine ungrade Primzahl, so findet 
Fall I statt; es wird q(j)) = l •2*»*p —1, 
und wir haben den Wilsonschen Satz in 
der früher gegebenen Form. 
21) Die Theorie der quadratischen 
Reste findet ihre wesentlichste Anwen 
dung in der Theorie der quadratischen 
Formen, und der unbestimmten Glei 
chungen zweiten Grades. Das Wesent 
liche über die Literatur darüber ist daher 
in dem Artikel „quadratische Formen“ 
gegeben. Der wichtigste Satz in der 
Theorie der quadratischen Reste ist das 
von Legendre gefundene, aber nicht voll 
ständig strenge von ihm erwiesene Re- 
ciprocitätsgesetz. Ausser den Beweisen 
desselben, welche von Gauss und Di 
richlet herrühren, sind noch verschiedene 
von Jakobi und von Eisenstein, die im 
Crelleschen Journale enthalten sind, zu 
erwähnen. Der bedeutenden Erweite- 
Cluadratrix (Geometrie). 
1) Im Allgemeinen versteht man un 
ter Quadratrix einer gegebenen Curve 
eine andere Curve, die durch ihre Ordi- 
natenlängen die von der ersteren ahge- 
schnittenen Flächeninhalte angibt, also 
gewissermassen zur Quadratur der erstem 
auf mechanischem Wege dient. 
Da man aber die Flächeninhalte, wel 
che durch eine Curve ahgeschnitten wer 
den , auf verschiedene Art bestimmen 
kann, so kann man einer Curve ver 
schiedene Quadratricen gehen. 
Eine solche z. B. wird, wenn wir 
ebene Curven voraussetzen, die von der 
Curve zwei Ordinaten und einem Stücke 
der Abscissenaxe gebildete Flächenstücke 
angeben. 
Sei 
y~f{x) 
die Gleichung dieser Curve, so wird 
s ~ff{x)dx 
bekanntlich das in der eben angegebenen 
Weise bestimmte Flächenstück, und 
y-ff{x)dx 
also die Gleichung der Quadratrix sein, 
oder nach der Lage und dem Anfangs 
punkte der Cordinaten ist auch die Qua 
dratrix noch in unendlich viel verschie 
denen Weisen zu bestimmen. 
Bestimmt man die Curve durch Polar- 
coordinaten oder auf irgend eine andere 
Weise, so wird natürlich die Quadratrix 
sich völlig ändern. 
Die Quadratricen haben natürlich nur 
eine historische Bedeutung, da man sie 
vor Einführung der Integralrechnung zur 
Veranschaulichung, wenn auch nicht zur 
Auffindung der Flächeninhalte benutzte. 
2) Am bekanntesten ist die Quadra 
trix des Dinostratus, deren Ordinaten 
die Flächeninhalte der Sectoren eines 
gegebenen Kreises proportional sind. 
Ihre Construction ist die folgende. 
im 
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