alytische). 
nären eine höchst 
rang erfahren hat, 
itigkeit geworden, 
sein, dieser di- 
Integrale einige 
und zunächst die 
der vorhergege- 
erweisen, 
r Quadraturen 
Summen. 
• Vn- 1’ Vn 
Iche gegeben sein 
rente Bezeichnung: 
/■(*>)• 
icr anderen Reihe 
* x n—1’ X tl 
11t eine beliebige 
x vor, 
3 recurrente Glei- 
nach die Werthe 
erhält man offen- 
fi* i) 
+ f^i) + f(. X 2) 
X x i)+7(- x i)+f( x *) 
)+fi x 3 ) + ”'K X p)- 
der Ausdruck für 
tnmt, bis auf die 
willkürlich zu neh- 
hts über deren Aus- 
stgesetzt ist. 
an, die Reihe der y 
che, d. h. jedes y p 
lur unendlich wenig 
enden; es wird dann 
ndlich kleine Grösse 
x ). Um letzteres 
wir 
p-1 )?(*>)’ 
der That unendlich 
annehmen, dass die 
eine continuirliche 
den in unsrer Reihe 
von x nicht unend- 
Dicse beiden Bedin- 
- schon hinreichend, 
Quadratur (analytische). 157 Quadratur (analytische). 
l 
immer unendlich 
der y continuirlich 
Wir haben nämlich: 
y -y i = ( x ~ x „ i)7 OO 
p p—1 p p—*■ V 
oder, wenn wir der gewöhnlichen Be 
zeichnung gemäss 
v —v —dii.x —x ,-dx 
p—i u p p p—1 p 
schreiben, die Indices aber weglassen: 
dv 
dy — y (x') dx oder — — y (x). 
Der vorhin aufgestellte Ausdruck für y 
ist dann: 
y =y 0 +Yim[dx l y{x l ) + dx 2 (f(x 2 )-\ 
+ dx p y(x)]. 
Wo die Bezeichnung lim. (limes, Grenze) 
anzeigt, dass die Grössen x t , x 2 ,. .. x 
in continuirlicher Reihe auf einander fol 
gen, mithin auch, wenn und a - einen 
P 
endlichen Unterschied haben, ihre An 
zahl unendlich gross ist. 
Da der Ausdruck rechts für jeden 
Werth von x das zugehörige y ,also, 
p _ p 
da die Reihe der x ins Unencliche aus 
gedehnt werden kann, für jedes x das 
zugehörige y gibt, so stellt die Reihe 
rechts offenbar den Werth von y als 
Function von x vor und ist also die 
Auflösung der Gleichung 
Es ist also die directc Form der In 
tegrale als Grenzen von Summen gefun 
den, und mithin auch die allgemeine 
Möglichkeit des Integrirens dargethan. 
3) Bezeichnung der Integrale 
undGrundeigenschaft derselben. 
Den ganz willkührlichen Ausdruck y 0 
nennt man „ willkührliche Constante.“ 
Eine solche enthält mithin jedes Inte 
gral, und sie ist durch irgend eine pas 
sende Annahme zu bestimmen. 
Setzen wir 
C für y. 
so hat man 
r 
x und y für x und y , 
p p 
Nimmt man an, dass C = 0 sei, so ist 
y ~ lim (dx t y (x,) + d(x 2 y (x 2 ) + ... 
+ dxif (x). 
Die Bezeichnung hierfür ist: 
X /»X 
y= j y (u) du oder = / y(x) dx; 
0 X Q 
x 0 heisst untere, x obere Grenze. 
Hierin zeigt die Grösse u oder x 
(es kommt auf die Wahl des Buchsta 
ben hier gar nicht an) unter dem Sum 
men- oder Integralzeichen nur an, dass 
für dieselben nach und nach eine con 
tinuirliche Reihe von Werthen x 0 , x t , • •.• x 
zu setzen ist, deren erster also x 0 , deren 
letzter x ist. Dass nämlich y(x 0 ) eigent 
lich in unserer Summe nicht vorkommt 
ist unerheblich, da ein Glied <f(x 0 )dx 0 
mehr die Summe nicht ändert, wenn 
y (.r 0 ) endlich, da dx 0 verschwindend 
klein ist. D. h. 
„Ucher das Gesetz, nach welchem ar 0 
bis zu x übergeht, ist gar keine Regel 
festgesetzt, es ist dasselbe also bis auf 
die Continuität der Grössen ganz belie 
big, und somit nur der Anfangswerth ar 0 
und der Endwerth x bestimmt. 3 4. 
Es erleidet also auch keinen Zweifel, 
dass man, selbst wenn die Grenzwerthe x 0 
und x reell sind, auf dem Uebergange 
von einem Werthe zum andern zu ima 
ginären Werthen von x gelangen kann, 
uud zwar können diese Werthe unend 
lich verschiedener Art sein. Wir erhal 
ten auf diese Weise unendlich viel Wege 
der Integration. Jedoch wollen wir die 
Ausführung dieser höchst wichtigen Un 
tersuchungen vor der Hand noch auf- 
schiehen, und annehmen, dass die Grösse 
x auf dem ganzen Wege der Integration, 
also während des Ueberganges von x 0 
zu x immer reell sei, eine Annahme, 
p 
die übrigens nicht ausschliesst, dass u(x) 
auf diesem Wege imaginär wird. 
Es bleibt dann allerdings noch das 
Gesetz, nach welchem die Grössen x 
aus einander entstehen, völlig willkür 
lich. 
Nehmen wir z. B. an, es sei 
x =x +a, 
P p-1 
y— C + lim [dx v <j(x x )+dx 2 >f(x^) + . . . 
-\-dx/j(x)]. WQ a e ; ne beliebige, natürlich unendlich 
Man schreibt abgekürzt kleine Constante ist, so werden wir auch 
y—ff (x)dx. haben: 
Unter dem Zeichen J ist also der all- 1 = ^0 + x i — x 0 +2«, .... 
gemeine Ausdruck für y zu verstehen, x p ~• l o^~P C( i 
zu dem die willkührliche Constante C , , . _ 
addirtist. dx t = dx 2 . . . =«**=*,