(analytische). 
Quadratur (analytische). 159 Quadratur (analytische). 
+ «</(*)]• 
istante, so wird sein: 
c*—i)» 
p-1 / P M 
• • +r (f(r a- 0 )J, 
■r Form von einander 
hört endlich und con- 
ie x auseinander ent 
hrals ausübt, letzteres 
ichen x. und x lie- 
1 n 
n x enthält, so muss 
eliebiges Glied x r der 
i y der andern Reihe 
setzen also 
» v = y^- 
d x r , sind beliebig der 
mmen, y^ und y^ dem 
der zweiten Reihe, 
un die Theile beider 
(V ~V-l) K x r') 
V “V-1 } f{ \’) 
fj' an q nähern, und 
i 
j )> 
ken, so dass man für 
, 1 ) = ^ r )(V ~ X r) 
und für die zweite: 
/•(j/ t ;=(2/ ?+ i-2/ ? +^ +2 -j/ e+ i+ ... +v“V-i )=/ ’ ( V ( V _ V' 
Wegen der Voraussetzung Continuität beliebig wählen kann. Man 
x —y x — v nimmt es natürlich derart, dass die Sum- 
r r' J (j f mirung der entstehenden Reihe möglichst 
sind aber diese beiden Grenzausdrücke einfach wird. 
gleich, und da dies von den andern Dies Verfahren ist von Fermat und 
Theilen beider Summen in gleicherweise Andern schon lange vor Erfindung der 
gilt, so hat man: hohem Analysis eingesehlagen worden. 
y In den wenigsten Fällen wird man das 
Gesetz einer arithmetischen Progression 
womit unser Satz erwiesen ist. zu wählen haben. 
4) Beispiele der Ausführung Beispiel. Es sei zu bestimmen: 
von Quadraturen. pb 
Aus dieser Betrachtung folgt, dass U = j uS 
man bei den Quadraturen das Entste- ' a 
hungs-Gesetz unter der Bedingung der Wenn man hierin setzen würde: 
tT=ß[(rt-f-«) + («+2«) 4 («+3ß) S -f . . . -f («+p«/], 
so hätte man die Summe der sten Potenzen einer arithmetischen Reihe zu finden, 
eine Aufgabe, die nicht ganz leicht ist, namentlich wenn s keine ganze positive 
Zahl ist. Wir setzen daher 
x —rx , 
P p-1 
also 
U ~(i—l)rt [(ra) -fr(r s a) + r ! (r 3 «) 4 
I p ~ i f v N S T 
+ r (r a) ], 
wo r unendlich wenig von der Einheit entfernt und r n = b ist. 
Man hat hier offenbar eine leicht zu summirende geometrische Reihe, was 
auch s sei, nämlich: 
i/ = (r-l)rV +1 [1 + r 
1 2s+2 3i+3 (p—1 
+r +r + ... 4 r ] 
-(r-l)rV +1 
*41 
-1 
oder, wenn man r 
?J-, r=y* 
a ] a 
setzt: 
U = 
(/> 
«41 «pi 
« + ) {hP —ap)bp 
(//4l_ a *4l )(1 _^«y p) 
*4i 
b p ■ 
*41 
-a P 
Der Factor — 
(!) 
*41 
V 
ist gleich 
••• +(#. 
i 
ein Ausdruck, der für unendlich grosses p offenbar, da =1 ist, die Summe 
gibt. Somit hat man: 
/* « s d„ = J-(i s+1 -o i+1 ). 
J h s + 1