Quadratur (analytische). 160 Quadratur (analytische). 
5) Einige Sätze über die Quadraturen ergeben sich unmittelbar aus der Sum 
menform. 
Es ist: 
f f(x)dx={x l -x 0 )f{x l ) + (x. i -x l )f{x 2 )+ ...+(x p -x p _ i )fQe p ) 
= ( Wl ) / ' ( V + ( ^-l~V2 )/ ' ( Vl )+ • • • 
In dem letzten Ausdrucke ist die Reihenfolge der x: 
VVi’V-2 • • • 
Da nun das Zeichen dx der abgekürzte Ausdruck für die Differenz eines belie 
bigen x und des Vorhergehenden war, so ist jetzt: 
zu setzen, also: 
dx = x —x 
5—1 S 
-dx-.= x —x 
s—1’ 
wodurch man für die letztere Reihe erhält: 
Man hat also 
oder; 
dx J ( J c )~~ dx n : A X r>-1)~ •• • - dx if( x i)=~i f(x)dx. 
v p v H J Xp 
/ X o n x p 
f(x)dx~ —I l(x)dx 
x P J x 0 
/ ß p a 
f(u)du= — I f(y)du. 
k 3 
„Man kann die Grenzen des bestimmten Integrals vertauschen, wenn man 
das Vorzeichen ändert.“ 
Ist f(x) — 1, so erhält man sogleich: 
/ et 
dx— b—a. 
b 
Ans der blossen Form des Ausdruckes: 
f'ß 
J f(x)dx = (x l -a)f(x l ) + (x 1 -X i )f{x 1 )+ . . . +(-x s )f{y)+(x s+ 2~y)f(x s+2 ) 
+ . . . +(ß-x p ) f(ß), 
wo y = x ein beliebiger Werth von x zwischen « und ß ist, folgt sogleich: 
pß pY pß , 
j f (x) dx = I f(x)dx + j f (x) dx. 
•' a •* « y 
„Es bleibt aber diese Formel auch noch richtig, wenn y nicht zwischen « 
und ß liegt.“ Denn es ist: 
pß pß pY 
j f (x) dx — j fix) dx ~ j f{x) dx 
n -J y J « 
oder, wenn man nach dem eben bewiesenen Satze: 
•Y 
/ P pY 
f(x) dx — j f{x) dx 
setzt; 
PY pß PY 
/ f{x) dx = / fix) dx + / f {x) dx, 
„ J K J ß 
was offenbar mit dem Vorigen übereinstimmt, wenn man ß mit y vertauscht. Es 
fällt aber hierin ß nicht zwischen « und y, sondern über y hinaus.