Quadratur (analytische). 
(analytische). 
Quadratur (analytische). 161 
littelbar aus der Sum- 
[x p -x p _ x )f{x ? ) 
+(x l -x 0 )f(x l ). 
Differenz eines belie- 
•tauschen, wenn man 
j) + (■ r s+2 )') f( x s-\-2) 
. +(ß- Xp )f{ß), 
t ist, folgt sogleich: 
a y nicht zwischen a 
mit y vertauscht. Es 
hinaus. 
Noch ist selbstverständlich: 
/'Vooib/Gr) ±^(^) • • •) dx - f ? f{ x ) dx +f\( x ) dx +rv.) dx ± • • •. 
•Ja 'Ja ^a 'J a 
d. h. „das Integral einer Summe oder 
Differenz ist gleich der Summe oder 
Differenz der einzelnen Integrale.“ 
Ferner, wenn c eine Constante ist: 
pß pß 
j cf(x) dx = cj f(x) dx. 
'Ja 'Ja 
einander entgegengesetzt, d. h. die von: 
pß pß 
M I (f (x) dx — j f(x) <f{x) dx 
'Ja 'Ja 
und 
pß pß 
N j (f (x) dx — I f(x) ff (x) dx. 
'Ja 'Ja 
Auch ist klar, „dass jedes bestimmte „ , , _ , 
Integral einen positiven Werth hat, wenn muss a ^ s0 ^ as Integral: 
f{x) auf dem ganzen Integrationswege 
dasselbe Vorzeichen, und gleiches mit 
ß—a hat.“ Denn in der Formel: 
pß 
J f(x) dx = J(x s - x ^)f(x s ) 
pß 
I fi x ) f j(. x ) dx 
o ff 
zwischen 
pß pß 
NI cf(x)dx und Ml ff {x)dx 
I dx 
haben dann immer die beiden Factoren 
x —x _ und f(x ) dasselbe Zeichen, da hegen. 
ss-1 Da M und N Werthe von f (x) aus 
x ~x mit ß—a zugleich positiv und der von a und ß begrenzten Reihe, un- 
s ^ ser Integral aber continuirlich ist, so 
negativ ist. „Dagegen ist der Werth muss dasselbe offenbar gleich 
eines bestimmten Integrals negativ, wenn 
f(x ) immer dasselbe Zeichen, aber das pß , 
s f( x )l 
entgegengesetzte wie ß—a hat.“ J tt 
Sei jetzt unter dem Summenzeichen sein, wo x f in der angegebenen Reihe 
ein Product f(x)-if(x) enthalten. liegt, man kann aber setzen: 
Nehmen wir aber an, dass <f{x) sein . 
Zeichen zwischen den Grenzwerthen « x —a+t{ß 
und ß nicht ändert. wo e zwischen Null und Eins liegt, denn 
Sei dann M der grösste Werth von je nach der Wahl von f, erhält man 
f{x), N der kleinste, welcher in diesen hieraus für x' alle zwischen « und ß 
Grenzen enthalten ist. 
Dann ist also immer: 
M—f(x) positiv, N—f(x) negativ. 
Es haben also auch die Grössen 
[M-I(x)] ,f(x) und [N-f(x)] ff(x) 
entgegengesetzte Vorzeichen, und zwar ändert. Diese Formel, obgleich die 
auf dem ganzen Integrationswege jeder Grösse von e darin noch nicht bestimmt 
immer dasselbe Vorzeichen, da <f(x) das ist, ist dennoch zur Berechnung der 
seine nicht ändern soll; daher sind auch Grenzen bestimmter Integrale von gros- 
die Vorzeichen von: 
’ß 
fallenden Werthe von x. 
schliesslich: 
Man hat also 
ß ß 
f 'f(x)f(x)dx-f[a+i{ß-a)]r <f(a)dx, 
•' a 'Ja 
jedoch nur, wenn <f{x) sein Zeichen nicht 
und 
r ? [M-f{x)] <f(x) dx 
a 
f \N-f(x)] ff (x) dx 
J cc 
Offenbar ist nach dem Obigen: 
g%Xp 
ser Wichtigkeit. 
6) Differenziation der Inte 
grale nach einer Constante. 
Es sei jetzt ein bestimmtes Integral 
nach einer der Grenzen, oder nach einer 
in ihm enthaltenen, bei der Quadratur 
selbst als constant betrachteten Grösse 
(Parameter) zu differenziiren. 
-j-1 fXp j . Xp -|-1 
f(x) dx — j f(x) dx ~ I f(x) d. 
a 'Ja 'J xp 
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