Quadratur (analytische). 170 Quadratur (analytische). 
Sei jetzt 
+ ß dx f+ß 4 
dx_ r 
dx 
über einen Theil der Abcissenaxe zu 
erstrecken, in welchen sich der Punkt 
# = 0 befindet, für den — ebenfalls un- 
x x 
endlich wird. 
Man hat: 
d 
Ein Integral von der Form 
»A-j- s 
f(x) dx, 
l—d 
wo d und s unendlich klein sind, f{l) 
aber discontinuirlich ist, heisst nach Cau- 
chy singuläres Integral. 
Würde man das Integral 
* "hß dx 
f. 
/; 
dx _ —3 —3 
ZI~ 3-1( — d) —(—«) ], 
/ 
ß dx , 3 
I — 3 (ß ' * 
£ ~ 
5 ). 
3 
Es werden aber e und (- 
-d) -3 für 
unendlich kleines s und d unendlich gross, 
mithin der Werth des Integrals von d und 
s abhängig. Man kann also hei diesem 
Integral nur einen Theil der Abscissen- 
axe als Integrationsweg nehmen, wenn 
der Punht x = 0 auf demselben nicht 
liegt. 
wo « und ß positive reelle Grössen sind, 
nach Abschnitt 4) ohne Weiteres be 
rechnen, so erhielte man: 
-Uß 3 ~(~«) 3 )=-£(~r+ “?)> 
also einen völlig bestimmten Werth. 
Derselbe gibt allerdings einen Aus 
druck für das bezeichnete Integral, nur 
darf man dasselbe nicht über den Punkt 
x = 0 erstrecken. Da nämlich die Grösse 
—- nur für x = 0 discontinuirlich wird, 
X x 
so kann man etwa den Integrationsweg 
derart nehmen, dass man (Fig. 22.) von 
Fig. 22. 
Punkt —k auf der Abscissenaxe bis in 
die Nähe von dem Werthe Null fort 
schreitet, dann aber eine beliebige Aus 
weichung c ed von der Abscissenaxe 
macht, so dass der Punkt Null umgan 
gen wird. Der Weg ccß kann dann wie 
der auf dem positiven Theil der Abscis 
senaxe fortgesetzt werden. Dieser Aus 
weg kann eine beliebige Linie, z. B, ein 
Halbkreis oder eine gebrochene Linie 
sein. Dieser Weg und übrigens auch 
jeder andere, der von —u nach ß führt, 
mit Ausnahme eben der Abscissenaxe, 
gibt —3(^3 + a ^ s Ausdruck für un 
ser Integral. Dieser wichtige Gegen 
stand wird sogleich weiter ausgeführt 
werden. 
11) Aenderung des Integra 
tionsweges. 
Wir betrachten jetzt das Integral: 
nß 
u=J (fix, y)dx+f,{x, y)dy). 
Damit dies im Allgemeinen einen Sinn 
gebe, ist unter y irgend eine Function 
von x, also ff {x), die man ganz beliebig 
wählen kann, zu verstehen; für jeden 
Werth von x, also auch für 
x — a und x — ß 
wird dann auch y und mithin das ganze 
Integral bestimmt sein. Wir wollen übri 
gens «, ß, x und y als stets reell vor 
aussetzen, und annehmen, dass immer