Quadratur (analytische). 172 Quadratur (analytische). 
Man hat also : 
u’-v=f x, №l^x+f y 'ii^^dy+h,f i (x i ,yc > HK-K)aH,v,)+--- 
•' X 0 u y J y 0 °y 
+ i~ h C y J~ h (*»y> 
p—1 p —6 p —1 p— 1 p—1 p p 
Die Grösse h unter dem Integralzeichen bedeutet den in der Summe jedesmal zu 
x und y gehörigen Werth h . 
s s s 
Der Ausdruck ausserhalb des Integralzeichens gibt hei andrer Anordnung: 
\f i( x 21V z) ~ f i i x i,y i)] h 3 [f>i (^3,2/3) f 1(^25 3/2)] ^3 [f 1(^4 iy x)—f 1(^3) l/s)] — 
“Vi [A( vV~ A( Vi’Vi )] 
- 1. ( d fi( x iiyi) dT , d ii(. x i>2G) , 
- A '\ dx l dyi 
$ 
hj b Mf^yJ dx + b M^. y *) 
0X 9 
d Vi 
i X T 
d y2 
öfi ( x , y) d fi ( x . V ) 
riiW n 
—h l L 
p-l\ dx 
dx s~—— dy \ 
P dy_ >/ 
_P i PP 
p - P 
X pJ>fii x iy)x v _ r y Pi d f A x iy) 
also 
- — f ‘ li’ l ^-~ UJ dx— I ‘ h~ J/ dy, 
J *. ■> V. ** 
, C x p ,p/v, 
” x \~TTy 
Das Uebrige hebt sich weg. 
X P J d f{x, y) ,'_j d fi x , y) j dx _ 
dx 
Es wurde diese Form der Entwicke 
lung gewählt, um Betrachtungen der 
Variationsrechnung, welche hier aller 
dings auf kürzerem Wege zu demselben 
Resultat geführt hätten, zu vermeiden. 
Die Grösse h bedeutet die Zunahme 
von y bei der Veränderung des Inte 
grationsweges , und ist daher unendlich 
klein, im üehrigen willkührlich. 
Wir stellen jetzt die Frage : 
„Wie müssen die Functionen f(x, y) 
und f x (x, y) beschaffen sein, damit der 
Werth des Integrales u=f{fdx + f v dy) 
von dem Integrationswege unabhängig 
ist, vorausgesetzt, dass die Grenzen fest 
sind?“ 
Offenbar ist die Bedingung dafür: 
v!—u = 0, 
oder 
d fi x , y) _ d fi( x , y) 
dy dx 1 
da wegen des willkürlichen h nur in 
dem Falle das ganze Integral verschwin 
den kann, wenn jedes Element desselben 
verschwindet. 
Ist also diese Bedingung, welche übri 
gens vollständig identisch ist mit der 
bekannten Bedingung, dass der Aus 
druck : 
du — f{x, y) dx+f t {x, y) dy 
ein vollständiges Differenzial sei, erfüllt, so 
ist der Werth des Integrals: 
nß 
I [fix, y) y x+f,{x, y) dy] 
J « 
völlig unabhängig von der Gleichung, 
welche x mit y verbindet, vorausge 
setzt, dass die Integrationsgrenzen die 
selben bleiben. Es braucht dann die 
Entfernung der Curven ACB und AC'B 
keine unendlich kleine zu sein, sondern 
kann beliebig werden, da man von ABC 
immer zu einer unendlich nahen Curve, 
und so weiter auf continuirlichem Wege 
bis AC'B fortschreiten kann, auf dem 
ganzen Wege sich aber der Werth des 
Integrals nicht ändert, vorausgesetzt, 
dass f(x, y) und f v (x, y) überall zwischen 
ACB und AC'B und auf diesen Curven 
selbst continuirlich bleiben. 
„Dieser ganze Schluss aber 
wird falsch, wenn sich zwischen 
ACB und ACB ein Punkt befin 
det, in welchem f{x, y) oder 
f t (x, y) discontinuirlich wird.“