(analytische).
Quadratur (analytische). 173 Quadratur (analytische).
-*i )A(«a»y«>+ •••
)-Ä f^x ,y).
1 p—1 p p
Summe jedesmal zu
mdrer Anordnung:
»V *)]—•''
V _/?l( Vl’Vl )]
ng, dass der Aus-
*+№» 2/) f/ i/
erenzial sei, erfüllt, so
ntegrals:
•+/\(®>2/) d y]
von der Gleichung,
verbindet, vorausge-
grationsgrenzen die-
i braucht dann die
ven ACB und ACB
ne zu sein, sondern
U, da manvonARC
mdlich nahen Curve,
ontinuirlichcm Wege
iten kann, auf dem
aber der Werth des
dert, vorausgesetzt,
c, y) überall zwischen
id auf diesen Curven
bleiben.
3 Schluss aber
an sich zwischen
3in Punkt befin-
m f{x, y) oder
luirlich wird.“
Es kann dann, selbst wenn die obige
Bedingungsglcichung für den ganzen
übrigen Raum herrscht, bei Ueberschrei-
ten dieses Punktes sich der Werth des
Integrals ändern.
Es ist nämlich bei allen diesen Be
trachtungen Continuität vorausgesetzt,
Beispiel. Es sei
K x > y>) = 2au/, f,{x, y) = x*,
so ist offenbar
öfi x > V) _ < > f i ix,y)_
dy ~ dx ~ ’
also unsere Bedingung erfüllt.
In dem Integral:
setzen wir y~ax, und erhalten:
2>ax 3 dx—aß 3 —an 3 .
f
Setzen wir aber y—px^ + q, so wird
das Integral:
/•ß
j (4px 3 + 2 qx)dx —
pß 1 —pa x +qß 2 —pcc*.
Damit aber die Endwerthe von y,
welche x~a und x = ß entsprechen, in
beiden Integralen übereinstimmen, ist zu
setzen:
aß = pß i +q
und
aa=pa 3 ’+q,
zwei Gleichungen, aus denen sich p und
q ergeben, nämlich:
und
(laß
<* + ß
Diese Werthe, in den Ausdruck für das
letzte Integral eingesetzt, geben aber:
/
(4pa; 3 ß-2qx)dx
CK
«Go»)
CK + ß
(«
2 +/5 2 + «/3) ~aß 3 —au 3 ,
also offenbar denselben Werth, welcher wo f und f x Functionen von x und y
unter der Annahme, dass y - ax sei, sind, welche die Bedingungsglcichung
gefunden wurde.
12) Anwendung des eben ge
fundenen S atze s.
Fig. 24.
Sei AßC-D eine beliebige geschlossene
Curve, bei welcher wir jedoch nicht
etwa Continuität der Krümmung voraus
setzen, so dass dieselbe aus beliebigen
Curvenstücken, oder auch graden Linien
zusammengesetzt sein kann, also z. B.
irgend ein Polygon bilden kann.
Theilen wir diese Curve in zwei Theile
ABC und ADC, und erstrecken über die
selben das Integral:
ti-f(fdx + f v dy),
d l = ^£l
dy dx
erfüllen. Befindet sich dann innerhalb
des Umfanges ABCD und auf demselben
kein Punkt, wo f oder f l discontinuir-
lich wird, so geben nach vorigem Ab
schnitte beide Integrationswege dasselbe
Resultat.
Es ist nun aber auf irgend einem
Wege:
u-f (fdx + f i dy) — — f (fdx + f l dy),
J n J ß
wie bereits in Abschnitt (5) dargethan
wurde. Das auf irgend einem Werthe
ADC berechnete Integral gibt also den
entgegengesetzten Werth des auf dem
umgekehrten Wege CDA genommenen.
Erstreckt man also das Integral über
den Weg ABC und dann über CDA
(wo die Ordnung der Buchstaben die
Richtung anzeigt), d. h. über den gan
zen Umfang ABCD, so wird der Werth
des Integrals Null.
^ I. „Wenn die Bedingungsgleichung
— = erfüllt ist, so ist der Ausdruck
oy dx
