Quadratur (analytische). 174 Quadratur (analytische). 
J(fdx-\-f\dy) über eine beliebige geschlos 
sene Curve erstreckt immer gleich Null, 
falls sich auf dieser Curve und in dem 
von ihr begrenzten Ebenenstücke keine 
Discontinuität findet.“ 
Es kann indess ein Flächenstück auch 
mehrfach begrenzt sein, wie z. B. das 
zwischen den geschlossenen Curven AB CD, 
EFGH, KL MN liegende. Sind auf diesem 
Fig. 25. 
dreifach begrenzten Stücke die Functio 
nen f und f, continuirlich, so kann man, 
wenn man die Linie AH, FN, LC zieht, 
das Integral j(fdx-\-f l dy) 
über den Umfang A B CLKNFEHA 
und 
über den Umfang AHGFNMLCDA 
erstrecken. Beide Integrationswege wer 
den einzeln Null gehen, selbst dann, 
wenn in den Flächenstücken I1EFG und 
NKLM sich Punkte finden, wo f oder 
f, seine Continuität verliert, denn diese 
Bäume werden hei jedem einzelnen der 
beiden Integrationswege nicht überschrit 
ten. Vereinigt man aber beide Besultate, 
so heben sich die in entgegengesetzter 
Richtung durchschrittenen Strecken: 
HA und AH, NF und FN, CL und LC 
fort. Es bleibt das über die Wege: 
ABC, LKN, FEH, HGF, NML, CDA, 
d. h. über die geschlossenen Umfänge 
ABCDA, LKNML, FEHGF genommene 
Integral übrig, welches also gleich Null ist. 
Durchmisst man aber die beiden letz 
ten Umfänge LMNKL, FHGEF in ent 
gegengesetzter Richtung, so wird die 
Summe der ihnen entsprechenden Inte 
grale gleich dem über ABCD genomme 
nen sein. 
Es ist klar, dass die ganze Schluss 
weise völlig richtig bleibt, wenn statt 
der zwei inneren Begränzungen deren 
mehrere stattfänden. Also: 
II, „Wenn in irgend einem mehrfach 
begrenzten Raume, und auf dessen Be 
grenzung, f und f v nicht discontinuirlich 
sind, so ist das über die äussere Be 
grenzung erstreckte Integral J'(fdx+f l dy) 
gleich der Summe der auf die inneren 
Begrenzungen erstreckten, wenn man alle 
in gleicher Richtung durchmisst.“ 
Noch wollen wir aber bemerken, dass 
wir vorausgesetzt haben, dass f und f, 
als eindeutige Functionen betrachtet wer 
den können, oder wenigstens, wenn sie 
mehrdeutig sind, als solche, die in den be 
trachteten Räumen nicht von einem Werth 
in den andern übergehen können. Wäre 
letzteres der Fall, so könnten die über 
HA und AH erstreckten Integrale mög 
licher Weise verschiedene Werthe von 
f unf /*, umfassen, und sich folglich 
nicht wegheben, wodurch die obigen 
Schlüsse falsch werden. Es wird dieser 
Fall sogleich näher zu erwägen sein. 
13) Das in den beiden letzten Abschnit 
ten Gesagte findet sogleich Anwendung auf 
pß 
die Integrale von der Form I f(z) di, 
J a 
wo z = x + yi eine complexe Grösse ist, 
und der Integrationsweg zwischen den 
Grenzen « und ß beliebig genommen ist. 
Die Punkte, wo f(z) discontinuirlich 
ist, nennen wir Discontinuitätspunkte. 
Wir wollen aber zunächst noch das 
jenige, was die mögliche Mehrdeutigkeit 
von f(z) anbetrifft, in Betracht ziehen, 
n 
Eine Function wie Yx hat allerdings 
n Werthe. Beim Intcgriren ist jedoch 
im Allgemeinen nur ein bestimmter 
Werth ins Auge zu fassen. Ist auf der 
n 
unteren Grenze « auch Ya = A gege 
ben, so ist der Wurzelwerth völlig be 
nimmt. 
Da nämlich im Allgemeinen die n Wer the 
n 
von Yx für jeden Punkt des Raumes 
endliche Unterschiede von einander ha 
ben (wie z. B. die beiden Werthe +m 
und —u von Y^> deren Unterschied =2u 
ist), so kann man auf dem ganzen In 
tegrationswege nicht von einem Werthe 
zum andern übergehen, weil sonst Dis 
continuität eintreten würde, bei welcher 
die Gesetze des Integrirens im Allge 
meinen keine Gültigkeit mehr haben. 
Es ist also, wenn der Werth von f(ß) 
der mehrdeutigen Function auf einer 
Grenze gegeben ist, die Function für 
das Integriren keine mehrdeutige mehr. 
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