Quadratur (analytische). 176 Quadratur (analytische). 
Damit also das in 11 und 12 Gesagte 
Anwendung finde, muss man: 
f=(f(x+yi) und f t =i(f(x+yi) 
setzen. Es wird dann 
_ ¿y(*+y*) ä &fi _ *dy(*+y*) 
dy dy dx dx 
Es müsste also, wenn die Bedingungs 
gleichung 
d I = b Il 
dy dx 
erfüllt sein soll, auch 
d(f,(x-\-yi) idy(x-\-yi) 
dy dx 
sein. 
Diese Gleichung wäre ohne Weiteres 
richtig, wenn i eine reelle Constante 
wäre. Für i—\ —1 bedarf sie einer 
nähern Erwägung. 
Cauchy hat dargethan, dass diese Be 
dingungsgleichung erfüllt sein muss, da 
mit eine Function y (z) sich in irgend 
einem Gebiete von Werthen von z nach 
ganzen Potenzen entwickeln lasse. Er 
nennt die Functionen, die sie erfüllen, 
„monogene Functionen.“ (Siehe hierüber 
den Artikel Quantitäten (imaginäre)). 
Da aber alle Functionen complexer 
Variablen, die aus den Elementen und 
der Integralrechnung sich ergeben, den 
Character monogener Functionen haben, 
so kann man diese Gleichung als das 
Criterium der Functionen überhaupt an 
nehmen , und sie als immer gültig be 
trachten. Es findet dann das in 11 und 
12 Gesagte in Verbindung mit dem in 
13 Gegebenen ohne Weiteres Anwendung, 
und führt zu folgenden wichtigen Sätzen 
über Quadraturen auf verschiedenen In 
tegrationswegen, aber zwischen densel 
ben Grenzen. 
pß 
I. Sucht man das Integral # f{z)dz 
•' a 
auf zwei verschiedenen Wegen, wo f(z) 
eindeutig und continnirlich ist, so kön 
nen die Resultate nur dann verschieden 
sein, wenn sich innerhalb des von bei 
den begrenzten Flächenstückes Disconti- 
nuitäts- oder mehrfache Punkte befinden. 
II. Das über einen geschlossenen Um 
fang erstreckte Integral f f(z) dz ist Null, 
wenn sich innerhalb desselben und auf 
demselben kein mehrdeutiger oder Dis- 
continuitätspunkt findet. 
III. Ist ein mehrfach begrenzter Raum 
gegeben, so ist ff{z)dz für die äussere 
Begrenzung genommen gleich der Summe 
der Werthe dieses Integrals für die in- 
nern Begrenzungen. Wenn man alle 
Wege in gleicher Richtung durchschrei 
tet, und sich auf dem mehrfach begrenz 
ten Flächenstück kein Discontinuitäts- 
punkt, innerhalb der ganzen äussern 
Begrenzung aber auch kein mehrfacher 
Punkt befindet. 
Es ist wichtig, diese letztere Be 
dingung noch etwas zu modificiren. 
Mehrfache Punkte, die sich inner 
halb derjenigen geschlossenen Curven 
befinden, welche die inneren Begrenzun 
gen bilden, können den Satz darum un 
gültig machen, weil dann nach Zurück 
legung der entsprechenden Curve die 
Function zu einem andern Werthe ge 
langen kann, als sie anfänglich hatte. 
Ist dies also bei keiner der innern Be 
grenzungen der Fall, so bleibt der Satz 
richtig. Es lässt sich also derselbe auch 
so aussprechen: 
III. a. Das Integral auf die äussere 
Begrenzung erstreckt ist gleich der Summe 
der auf die innern Begrenzungen zu er 
streckenden, wenn A) in dem mehrfach 
begrenzten Flächenstück sich keine mehr 
fachen oder Discontinuitätspunkte befin 
den, B) beim Umkreisen einer der in 
nern Begrenzungen der Werth der Func 
tion nicht geändert wird. 
Beispiel. Die Function — hat kei- 
r z 
nen mehrfachen Punkt, wohl aber einen 
Discontinuitätspunkt, a = 0, also den An 
fangspunkt der Coordinaten. 
Fig. 27. 
über den Halbkreis ABC (Fig. 27.), 
welcher seinen Mittelpunkt im Anfangs 
punkt der Coordinaten hat, auf der posi 
tiven Seite der y liegt, und dessen Ra 
dius gleich r sei.