Quadratur (analytische). 187 Quadratur (analytische). 
Sei demnach oder 
ff(x,y)dx 
gegeben, wo f eine rationale Function also: 
von x und y, 
y~ya-\-bx^-cx i also: 
ist. Um imaginäre Substitutionen zu 
vermeiden, unterscheiden wir aber zwei 
Fälle, je nachdem c positiv oder negativ, 
also je nachdem: 
y = ]/a + bx -\-e 2 x 2 
a + bx = u a +2uex, 
bdx — 2udu + 2uedx + 2xedu, 
2(u+ex)du 
dx — 
b~2eu ’ 
u 2 —a 
b—2eu' 
oder 
y~^ a-\-bx—e 2 x 2 
ist. 
I. Finde das erstere statt, so setzen 
wir: 
y-u+ex, 
wo w die neue Variable vorstellt. Es 
ist dann: 
a-\-bx+e 2 x 2 -=(u-\-ex) 2 also: 
Setzt man in dx und in y — u-\-ex 
diesen Werth von x ein, so hat man 
offenbar rationale Functionen von u, 
nämlich: 
, 2(ub—eu 2 — ae) , 
dx =-ü=m r ~ ju ’ 
y = 
ub — eu 2 — ea 
~b^ü ’ 
, f* 2(ub—eu 2 —ae) V" u 2 — a ub—eu 2 —ea~l. 
hier steht eine vollständig rationale d. h. 
Function von u unter dem Integral 
zeichen. 
also: 
II. Ist aber 
b—e 2 x — u 2 x+2uf, 
b— 2uf 
y = ]/ a + bx—e 2 x J , u 2 -\-e 2 
so lässt sich die ganze Rechnung noch -e 2 dx = u 2 dx-+-2uxdu+2fdu, 
durchführen wie in I,, wenn man statt ^ 
e die Grösse e]/—1 nimmt. Um jedoch f _ —2(f+ux)dü 
einigermassen langwierige Rechnungen zu ( X ~ M 2_p e -i » 
vermeiden, schlägt man ein andres Ver- 
fahren ein. oder wenn man für x seinen m u aus 
gedrückten Werth einsetzt: 
Wir unterscheiden noch die Fälle, wo 
a positiv und a negativ sei. 
A. Sei 
y — f 2 bx—e 2 x 2 , 
so kann man setzen; 
y = ux+f, 
es wird dann: 
f 2 -\-bx—e 2 x 2 — (ux-\-f) 2 , 
^ _ — 2(—fu 2 + fe 2 +ub) du 
(u 2 -\-e 2 ) 2 
Setzt man in 
y — ux+f 
ebenfalls für x ein, so kommt noch: 
ub — u 2 f+e 2 f 
y 
also; 
u 2 + e 2 
ub — u*f+e 2 l 
v J {u 2 + e 2 ) 2 L« 2 + e 2 u 2 +c 2 J 
B. Ist aber a negativ, also Die Gleichung 
y ~y~f' 2 +lx — e' l x 2 , e 2 x 2 -bx-\-f 2 = 0, 
so würde dieser Ausdruck Imaginäres wo e, b und f reelle Zahlen sind, hat 
enthalten. Dies vermeidet man durch zwei reelle Wurzeln (siehe den Artikel: 
folgende Betrachtungen. quadratische Gleichungen), denn wäre