Quadratur (analytische). 
188 Quadratur (analytische). 
dies nicht der Fall, und wären 
a+ßi, «—ßi 
die Wurzeln dieser Gleichung, so müsste 
—f y +bx—e*x 2 ~ — e*(x—a—ßi) 
(x—n+ß i) = —e 2 [(.r—«) 2 +/S?] 
sein; es würde also, wenn man auch x 
reell bestimmt, dieser Ausdruck negativ, 
und y = Y — e 2 [(x— « ) + /3 2 ] imaginär 
sein. Es müsste also während der gan 
zen Integration x imaginär genommen 
werden, ein Fall, den wir hier aus- 
schliessen, da er jedenfalls zu imaginären 
Substitutionen führen, und wenn man 
denselben anstellen will, das in I, an 
gegebene Integrationsverfahren Anwen 
dung finden könnte. 
Nehmen wir also an, es seien A und 
v die Wurzeln unserer Gleichung, und 
somit: 
y — Ye 2 (x—A) (y—x). 
Die Substitution, welche wir dann ein 
führen, ist: 
y - en(x A). 
Man erhält: 
e 2 (x—A) (v—x) = e 2 u 2 (x—A) *, 
d. h. 
v—x — u 2 (x—A), 
v+An 2 
X ~T+^' 
—dx ~ u * dx -f- 2m (x—A) du, 
d. h. 
(1+m) 1 
oder wenn man für x einsetzt: 
(1 + M 2 ) 2 
und wegen 
y = eu(x—A), 
also: 
_ tu (i/—A) 
1+m 2 
ff(x, y)dx=J' 
2tt(A'—y) 
(T+i 5 )* 
¿.f 
'Li-t-M 2 ’ 
eu(y—A)~] 
1 + M 2 J 
du. 
19) Abkürzung des obigen Ver 
fahrens. 
Von Vortheil für die Ausführung der 
Integration in dem eben betrachteten 
Falle ist die Bemerkung, dass sich jedes 
Integral von der angenommenen Form 
in eins oder mehrere andere von der 
Form: 
q{x) dx 
y 
oder wenn man will 
f yt GO dx 
verwandeln lässt, wo y(x) eine rationale 
Function von x allein ist. Diese Be 
merkung verliert ihre Gültigkeit selbst 
dann nicht, wenn y eine Quadrat-Wur 
zel einer ganzen algebraischen Function 
von höherer Ordnung ist. 
Denn wie auch f(x, y) beschaffen sei, 
so wird immer sein: 
2(A x’y 1 ) 
f(x, y)= p ' q 
v/B J* 2rj \ i wr. P 2i + 1 \ 
¿(B p xy)+2(C xy ), 
wo p und q ganze positive Zahlen sind, 
A , B , C constante Coefficienten 
P, 9 P, 9 p, q 
vorstellen, und die Summen beliebig viel 
Glieder mit wechselndem p und q ent 
halten. 
Der Nenner ist in zwei Glieder ge- 
theilt, deren eines die graden Potenzen 
von y, das andre die ungraden enthält. 
Im Zähler wurde eine solche Trennung 
nicht für nöthig erachtet. Multipliciren 
wir Zähler und Nenner des Bruches mit 
wb P 2q \ wrr P 2 «+Q 
2 / V ) —■~( c v * V ). 
P, q PiQ 
so wird man erhalten: 
fix •;) ~ S ^y 2q ) + 2 (ß x ^ M ) 
[2{Bx P y 2q )] -y->[2{Cx P y 29 )] 
Im Zähler ist hier der Theil, welcher 
grade Potenzen von y enthält von dem 
getrennt, welcher die ungraden hat. Der 
Nenner enthält nur grade Potenzen von 
y, und da y 2 eine ganze Function von 
x ist, so wird der Nenner eine ganze 
rationale Function x sein. Dieselbe 
Eigenschaft hat das erste Glied des 
Zählers, das zweite hat die Gestalt 
y 2 {ßx 1 y 2q ), enthält also y nur als Fac 
tor, der andre Factor ist eine rationale 
Function von x.