(analytische). 
x)~e 2 u 2 {x—A)*, 
:u 2 {x—A), 
y+Au 2 
’ 1+м а 
c+2» (x—A) du, 
,1+m)* 
ir ж einsetzt: 
u(A—y) 
L+« J ) 
du 
u{x—A), 
m (y—A) 
TT«“’ 
jf/lt. 
ill 
' (.r) rf-c 
,vo <] (x) eine rationale 
illein ist. Diese Be- 
ihre Gültigkeit selbst 
y eine Quadrat-Wur- 
dgebx’aischen Function 
mg ist. 
f{x, y) beschaffen sei, 
n: 
« , p 2j+l 
q )+2{ßxy ) 
29., 2 , r p 2? 2 
)] — y'[¿{Cxy )] 
r der Theil, welcher 
m y enthält von dem 
iie ungraden hat. Der 
r grade Potenzen von 
b ganze Function von 
r Nenner eine ganze 
i x sein. Dieselbe 
das erste Glied des 
¡ite hat die Gestalt 
lt also y nur als Fac 
tor ist eine rationale 
Quadratur (analytische). 
Der Bruch zerfällt also in Glieder von 
der Form: 
<j(x) und yip{x), 
wo <f {x) und xf>(x) rational sind, also : 
ff(x, y)dx~2 (/</ (x)dx) -{- lfy\p(x) dx. 
Die ersten Glieder fallen in die Theorie 
der Integrale rationaler Functionen, die 
zweiten haben die letztere der vorhin 
angegebenen Formen. Auf die erstere 
werden sie gebracht, wenn man die ra 
tionale Function y 2 *p(x) —%(x) setzt, wo 
‘'xi x ) d ' 
189 Quadratur (analytische). 
Denn es ist jedenfalls: 
xp{u) : 
2 {au ) 
' 2 A . _ , 2p+l > 
2 {bu ) + 2{cu ) 
indem wir wieder wie vorhin im Nenner 
die graden Potenzen von u von den 
ungraden trennen. Multipliciren wir Zäh 
ler und Nenner dann mit 
t// vz 2p+l, 
2 {hu ) — 2 {cu ), 
so wird der Nenner 
dann die Form 
f 
У 
wird. 
2{bu P ) 
i 2 2{cu P ) 
Denkt man sich die Integrale immer 
auf die letztere Form gebracht, und ist 
y ~ya-\-bx — e 2 x 2 , 
so kann man immer schreiben: 
г m dx= \fi 
J у tJ 1 
f {x) dx 
Ye 2 x 2 —bx — a 
wodurch das Integral auf die in II a. be 
trachtete Form zurückgeführt wird, und 
der Ausdruck Y—1 uur den Nenner di- 
vidirt. 
Diese Bemerkung ist wichtig für den 
Fall, wo die Variable x imaginär zu 
denken ist, also die Integration in ima 
ginären Grenzen stattfindet. 
Es lässt sich aber y auch auf die 
Form bringen: 
nur grade Potenzen von u enthalten. 
Den Zähler theilcn wir dann in zwei 
Glieder, deren Eins die graden, das 
Andre die ungraden Potenzen von u 
enthält, so dass man hat: 
_x( u *) + u xY u<l ) 
'H” 2 ) 
X, Xi und O- sind hier ganze nationale 
Functionen von m 2 . 
Betrachten wir nun: 
\p{u)du f'xi u ' i ) du 
xp{u) 
/ * xp[и) du n 
]/m 2 +« .У 
+ / 
7 b ' 
y b 2 a 
[ x+ w. 
) 4e* e»’ 
und 
#(m') a 
(m 2 ) udu 
Yvï+'a 
und substituiren im letztem Theile : 
Yu 2 + a = v, 
u 2 ~v 2 — a 
wenn der Coefficient von x* positiv ist, 
und auf die Form : 
Ы V' 7 Vy Гi ■ ) 
udu — vdv, 
so wird dieser: 
иdu _ 
Yu 2 + а •' ' 
■«) 
du, 
wenn der Coefficient von x 2 negativ ist. 
Setzt man im ersten Falle 
im letztem 
* + 2е = Щ 
X K- = M 
& {v 2 —a) 
also ein völlig rationaler Ausdruck. Der 
irrationale Theil hat also nur die Form 
f{u 2 ) du 
f 
wenn man: 
2e 
Yu 2 -\-a 
X( u2 ) _ 
f{u 2 ) 
so wird (f{x) eine ganze rationale Func 
tion von u bleiben, und das Integral 
eine der beiden Gestalten haben: 
/ xp{u) du n xp{u) du 
Y^Va ° dei J Yä^ü 1 ’ 
„Es lässt sich aber dieser Ausdruck 
in einen ohne alle Irrationalität, und in 
einen andern, der nur grade Potenzen 
von « enthält, verwandeln.“ 
» («») 
schreibt, wo unter f eine rationale Func 
tion von u 2 verstanden ist, ebenso führt 
das zweite Integral auf: 
•/■(it 2 ) du 
Y a—u 2 
Diese Ausdrücke lassen sich sogar noch 
etwas vereinfachen. In dem ersteren 
setzen wir, je nachdem a positiv oder 
negativ ist, 
f\