Quadratur (analytische). 190 Quadratur (analytische).
— oder —
y« ]/-a
in dem zweiten
77= = °»
\a
da, wenn die Wurzelgrösse reell bleiben
soll, a hier nicht negativ werden kann.
Man kommt dann auf eine der drei
Formen:
J Ya*+iy*» 9 —i J yi—v 2 '
Wendet man auf die ersten beiden Aus
drücke die Substitution I. von Abschnitt
(18) an, so ist zu setzen;
X—V,
y — j/u’+l = u 4- v,
a ~ +1, ¿ = 0, e=l,
—(u + u)du _ —(m 2 - rl) du
f f( X > V5 ») dX
auffinden, wo f(x,y,z) eine rationale
Function der drei Variablen, und
y a-\-bx, z = yd+ex
ist, die also zwei Wurzeln linearer Aus
drücke enthält.
Führt man nämlich y als neue Varia
ble ein, so ist:
2ydy ~bdx,
also:
dx~
%v d y
_ /db — ea -f- et/ 2
also:
dv:
2 u 3
—(m 9 +1)
2m ’
M^+l
2m
/
i= i
I f{x, y, z)dx =
db-ea-\-ey 5
2ydy e y*-a
y=-
und
I
rf{v 2 )dv_ ri ./(m 9 + 1) 9 \
' J Viri 4- 1 •/ u \ 4m' 2 /
b b , 91 \ b
ein Ausdruck, der nur eine Wurzel einer
ganzen Function zweiten Grades enthält,
und ganz wie oben zu behandeln ist.
20) Beispiele zur Integration
irrationaler Functionen.
du.
Es sei gesucht:
iWi
Wendet man dagegen auf den letzten
Ausdruck die Substitution II. A. von wo also
Abschnitt 18) an, so wird:
V- yi—v 2 ,
f= 1, ¿ = 0, e~ 1,
Vi
fy
du
u 3 ±l
AV) = i
-V 3 =MU + 1,
-v = u-v+2u,
—2m
m’4-i’
— 2(1-(-mu)(/m _ —2(1—u 2 )du
u 2 -\-l
1 —M 2
y-
also:
(1 + M 9 ) 5
ist.
Indem man
yu 9 +l = M-f-U,
setzt, nimmt Formel I. des vorigen Ab
schnittes die Gestalt an:
/ ’du _ r dw _
fa*Ti“ J
und da
m =]/u 2 +l — u
IgM
ist;
TT 9 rdu r 4M 2 -I
J yr^T 2- i/i+» 9 la+« , ) , J'
Diese Formeln in Verbindung mit denen
für die Integration rationaler Differen
ziale reichen also immer für unsern
Zweck aus.
Mit Hülfe des in diesen Abschnitten
auseinandergesetzten Integrationsverfah
rens lässt sich auch das Integral:
1 + M 2 ’
du
4m 2
f\
du
yu 2 +i
= -lg(yu 9 +l -v)
~ lg (yiri±i-J ;
multiplicirt man Zähler und Nenner un
ter dem logarithmischen Zeichen mit
y^ri+l + u, ’ so wird der Nenner +1,
also:
du i
= lg(u+y^ 2 + l)
/i
y«*+i‘
Im
also
läss:
Im 1
