Quadratur (analytische). 196 Quadratur (analytische). 
statt dessen aber bann man auch in der Formel für Je (X dx unmittelbar ßi für « 
setzen, und hat: 
fx n J ix dx = i -- [ß ßiX dx) 
oder: 
d. h. 
r x n e ßlx dx - 1 — { eßl3 ~- 'j 
J* \ ß j’ 
/ • n 1 d 
x (cos ßx+i sin ßx) dx = r I 
1 a lcos ßx + i sin ßx 
ß 
)• 
Will man Eeelles und Imaginäres trennen, so sind hier die Fälle zu unter 
scheiden, wo n grade und wo es ungrade ist. 
Man hat: 
p sin 
oder: 
ß 
oos^=(-i)"+‘ 
und 
dß 
1 \ ß 
ß 
x- n+ ' »in pxdx = (-\) n+ ' 
2n+1 \ ß 
Auch kann man sich statt dieser Formeln der Reihenentwickelungen für 
fe ax bedienen, und darin cc — ßi setzen. 
23) Andere Ausführungen von also eine algebraische Function, welche 
Quadraturen. immer integrirt werden kann. 
Allgemein lässt sich der Ausdruck 
./V(e 
Da 
dx 
axi —axi 
bestimmen, wenn f(u) eine rationale 
Function ist, oder eine solche, welche 
ausser einem rationalen Theil nur eine 
Quadraturwurzel eines ganzen Polynoms 
von höchstens zweitem Grade enthält. 
Setzt man nämlich 
sin (tf.t) = ■ 
cos (ex) =- 
2 i 
also 
oder 
so hat man 
ae aX dx = du 
, du 
dx — —, 
C(U 
Cr, «» \ J i’f(u)du 
,V (e )dx= J -ST’ 
rationale Functionen von c sind, so 
lässt sich hiernach auch 
f f(sin ex, cos ex) dx 
finden, wenn f eine rationale Function 
zweier Variablen bedeutet; auch können 
unter dem Functionszeichen die andern 
trigonometrischen Linien von ax enthal 
ten sein, welche sich auf rationalem 
Wege aus den sinus und cosinus durch 
die Formeln;