(analytische). 
Quadratur (analytische). 203 Quadratur (analytische). 
t+1 
dx. 
t stets zu integriren. 
tg cxx 
arc tg v= — x, 
cc 
X 
2« (cos ax) 5 
;ibt: 
du 
r<(l + « ) 
lg u arc sin u arc cos u arc tg u 
X — , X = , X — , X— , 
an a « 
so wird also, je nachdem der eine oder andre der vier Fälle stattfindet: 
/(arc sin »)V n (»)^; = «" +1 d — n {\fyi=;) 
r, du n4-1 d n /1 r f(u) \ 
I (arc cos m) f (mV- = « I - / /-—■- I 
J n j/l—M* da“'* Kl— 
/(.reg »)V„(«) 4“«. ~-* +1, ytJ r W) 
und es werden in jedem Falle die Ausdrücke: 
f n -2^ ' * * A( M ). A( w ). /■(«) 
durch die Formeln gefunden; 
^-1« =f fp^^y 
wo für ^(m) entsprechend die Werthe: 
m, /l —m*, —]/l — tt 2 , l + M* 
zu setzen sind. 
Wohl zu merken ist hierbei, dass in dem Ausdrucke rechts 
n+1 d n 1 
:< 
da 
* 1 / /YfrO M 
n«\.7 m / 
nach der Integration, aber vor der Differentiation nach « für u sein in x ausge 
drückter Werth wieder herzustellen ist. Es enthält nämlich diese Grösse u ja 
die Veränderliche « selbst, was beim Differenziiren natürlich wohl zu berücksich 
tigen ist. 
Beispiel. In der vorher entwickelten Formel: 
fx tg(«a;) ? ' l (l + tg (ax) 3 )dx = (tg «x) m + 1 dx) 
setzen wir 
und erhalten: 
i-f"l 
tg ax = m, 
«i+l. 
r m „ . «* d /1 ru ~ du\ 
J u arctgua« = — I— I — I. 
m + 1 da \uJ 1+M> / 
x 1 arc tg u 
2 (cos ax) 1 ~ 2 U+ 2 ( ‘ 1+M ^ 
Ist hierin «i = l, so hat man wieder: 
r j. , ß a d /tgax\ 1 
= tg«.+ 
Ist tu = 2, so ergibt sich: 
r ß* d /1 r u 3 du\ 
/«■arct g uA, = T -{.J 
Setzt man m 1 — v, so wird: 
/ u*du _1 f vdu _ 1 /Y-1 1 \ r , _v lg (1 -4-1>) 
1 + m 2 “2.7 l + v~2J V 1 1 + v/ ^”2 2