agisclies oder Zauber-). 
Quadrat (magisches oder Zauber-). 15 Quadrat (magisches oder Zauber-). 
iema zu Fig. I. 
6 
2 5 
3 4 
5 
3 4 
1 6 
4 
i 6 
2 5 
sma zu Fig. II. 
2 9 
fr- | 
^ l 
5 6 
3 8 
5 6 
1 10 
| ^ 
1 ^ 
1 10 
2 9 
5 6 
2 9 
3 8 
1 10 
3 8 
4 7 
I die Combination (6,8) aus 
d vorletzten Spalte cntnom- 
ist fett gedruckt, weil die 
(8,7) von der ersten und 
j des Schema herrührt. Das 
lält nun 4 Arten Zahlen, 
n folgendcrmaassen verfährt. 
• gestrichenen noch fett ge 
lten ihren Platz. 2) Von den 
cnen vertauscht man je vier 
örige, d. h. welche von den 
umher liegenden Seiten des 
ich weit entfernt, wenn sie 
a • • • h 
\ haben, derart, dass 
c • • • d 
d • • • c 
‘ whd. 3) Von den 
a • • • b 
henen werden immer 4 zu- 
ige so vertauscht, dass sie 
a • • • b 
mg ' | in die Stellung 
c • • • d 
¡rgehen (statt dessen kann 
c • • • d 
Stellung ’ < in 3. 
a • • • h 
ommen werden). So z. B. 
verwechselten in Fig. 2 die oben gestri- 
3 • • 8 
ebenen Zahlen < _ ihre Stelle, so 
93 • • 98 
98 • • 93 
dass daraus ‘ ’ wird, dagegen gc- 
3 • • 8 
35 • • 36 
hen die unten gestrichenen Zahlen 
65 • • 66 
66 • • 35 
in ’ " über, wo die zuerst he- 
36 • • 65 
zeichnete Stellung gewählt ist. 4) Die 
fett gedruckten Zahlen aber werden wie 
in Fall II. ersetzt, man fängt nämlich 
die natürliche Zahlenreihe abermals an, 
aber von rechts unten beginnend, und 
füllt die den fett gedruckten Zahlen ent 
sprechenden Felder durch die nunmehr 
auf sie fallenden Zahlen aus. Auf diese 
Weise nehmen die Figuren I. und II. 
folgende Gestalt an. 
Fig. I. 
1 
35 
34 
3 
32 
6 
30 
8 
28 
27 
11 
7 
24 
23 
15 
16 
14 
19 
13 
17 
21 
22 
20 
18 
12 
26 
9 
10 
29 
25 
31 
2 
4 
33 
5 
36 
Fig. II. 
1 
99 
3 
97 
96 
5 
94 
8 
92 
10 
90 
12 
88 
14 
86 
85 
17 
83 
19 
11 
80 
79 
23 
77 
25 
26 
74 
28 
22 
71 
31 
69 
68 
34 
66 
65 
37 
33 
62 
40 
60 
42 
58 
57 
45 
46 
44 
53 
49 
51 
50 
52 
43 
47 
55 
56 
54 
48 
59 
41 
61 
32 
38 
64 
36 
35 
67 
63 
39 
70 
21 
29 
73 
27 
75 
76 
24 
78 
72 
30 
20 
82 
18 
84 
15 
16 
87 
13 
89 
81 
91 
9 
93 
4 
6 
95 
7 
98 
2 
100 
Der Beweis der Richtigkeit beruht 
auf denselben Principien, wie der zum 
Fall II. Auf die angegebene Weise wer 
den nämlich in jeder Horizontal- und 
Vertikalreihe die Hälfte der Zahlen durch 
die Zahlen der entsprechenden Reihe er 
setzt; der Unterschied vom vorigen Falle 
ist indess der, dass mit den zurückblei 
benden Zahlen Verwechselungen inner 
halb ihrer Reihen geschehen, was natürlich 
die Summen nicht berührt. Uebrigens 
behalten die Diagonalzahlen die Stelle, 
welche sie in der natürlichen Zahlenreihe 
einnehmen, und somit gilt für sie das 
oben in Fall II. Gesagte ebenfalls. 
Ausser diesen Constructionen gibt es 
noch viele andere, und sind dieselben 
auch mancherlei Bedingungen zu unter 
werfen. So kann man z. B. einem 
Zauberquadrate eine magische Einfas 
sung geben, d. h durch Einfassung ein 
neues grösseres Quadrat bilden, welches 
ebenfalls die Eigenschaft eines magischen 
hat. 
Wir haben immer in die Quadrate die 
mit 1 beginnende natürliche Zahlenreihe 
gesetzt. Es ist jedoch ohne Weiteres 
ersichtlich, dass, w r enn man statt dessen 
eine beliebige arithmetische Reihe: 
ct-{-by <i-f-26, «-1-36, «4-46 • • •