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Quadrat (magisches oder Zauber-). 16 Quadrate (Methode der kleinsten). 
nimmt, es eben nur auf die Zahlenfacto- 
ren von b 1, 2, 3, 4 . . . ankommt und 
mit diesen, so wie hier gezeigt wurde, 
verfahren werden kann. 
Was die Geschichte der magischen 
Quadrate anhetrifft, so sind sie wahr 
scheinlich indischen Ursprungs, und ha 
ben wohl zunächst als Talisman oder in 
irgend anderer Weise dem Aberglauben 
gedient. In Europa hat, soviel man 
weiss, zuerst der Grieche Emanuel Mo- 
schopulos, der ums Jahr 1400 lebte, 
über magische Quadrate geschrieben, wahr 
scheinlich auch mit Rücksicht auf ihre 
angenommenen übernatürlichen Eigen 
schaften , dann Agrippa von Nettesheim 
(gestorben 1535), welcher die Quadrate, 
deren Seiten 3 bis 9 Zahlen enthalten, 
aufstellte. Er ist deshalb der Zauberei 
angeklagt worden. Bachet de Meziriac, 
sein Schüler, fand eine Methode für 
alle Quadrate, deren Wurzel ungrade 
ist. Frenicle (im 17. Jahrhundert) zeigte 
die Art, wie und wie oft man Qua 
drate versetzen könne, auch lehrte er 
den Quadraten magische Einfassungen 
zu geben. 
Poignard, Canonicus in Brüssel, schrieb 
1703 über magische Quadrate; er zeigte, 
wie man z. B. ein Quadrat von 36 Fel 
dern in der Weise der magischen mit 
nur den 6 ersten Zahlen ausfüllen könne, 
derart, dass eine Zahl nie zweimal in 
derselben horizontalen oder vertikalen 
Reihe oder in einer Diagonale vorkomme ; 
auch ersetzte er die arithmetische Reihe, 
welche die Zahlen bilden sollen, durch 
eine geometrische. La Hire, welcher 
1705 über diesen Gegenstand in den 
mémoires de l'académie geschrieben hat, 
gibt ebenfalls allgemeine Methoden für 
die ungraden Zahlen, und in denselben 
Memoiren hat sich 1710 Sauveur hiermit 
beschäftigt. Von Deutschen ist Adam 
Riese (1550) zu nennen. In neuerer 
Zeit hat Mollweide (De quadratis ma- 
qicis commentatio. Lipsiae 1816) diesem 
Gegenstände eine Schrift gewidmet. 
Wissenschaftliche Anwendung haben die 
magischen Quadrate selbstverständlich 
nicht gefunden. 
Quadrate (Methode der kleinsten). 
1) Der Zweck dieser von Gauss herrüh 
renden Theorie ist es, in einer Function, 
welche gewisse Constanten enthält, wel 
che durch Beobachtung speciellcr Fälle 
zu bestimmen sind, diese Constanten 
auch dann zu bestimmen, wenn die 
Anzahl der Beobachtungen die Anzahl 
der zur Bestimmung erforderlichen Glei 
chungen übersteigt. Da nämlich in der 
angewandten Mathematik, Astronomie 
Physik und in den verschiedenen prak 
tischen Rechnungen dergleichen Beob 
achtungen durch Wägen, Messen u. s, w. 
erfolgen, jede dieser Beobachtungen aber 
einen von verschiedenen Ursachen her 
rührenden Fehler enthält, so wird auch 
dem Resultat ein mehr oder minder 
grosser Fehler ankleben. Bestimmte 
man also die Constanten durch nur so 
viel Beobachtungen, als um die erfor 
derlichen Gleichungen zu haben nöthig 
ist, Hesse dann gewisse Beobachtungen 
weg und ersetzte sie durch eben so 
viele neue und bestimmte aus diesen die 
Constanten, so würden in der Regel von 
den Ersten mehr oder minder abwei 
chende Resultate sich ergeben, und man 
wüsste nicht, welches Resultat dem andern 
vorzuziehen wäre. 
Es empfiehlt sich also, gleich alle 
gemachten Beobachtungen, so viel auch 
deren seien, zu benutzen, und aus diesen 
die Constanten so zu bestimmen, dass 
der Fehler, der sich daraus ergibt, ge 
mäss den Gesetzen der Wahrscheinlich 
keit möglichst klein sei. Der Zweck 
der Methode der kleinsten Quadrate ist 
es, dies zu erreichen, und sie ist also 
als eine Anwendung der Wahrscheinlich 
keitsrechnung auf die angewandte Ma 
thematik zu betrachten. 
Sei F(ff, b, c...n, v, w ...) eine be 
liebige Function der Variablen ?«, v, w und 
«, b, c stellen Constanten vor, deren Zah- 
lenwerthe durch Beobachtungen zu be 
stimmen sind. Man braucht dazu die 
Beobachtung so vieler specieller Fälle 
als Grössen a, b, c .. . vorhanden sind. 
Seien in einem dieser Fälle, u l , v l} w t ... 
die Werthe der Variablen u, v, iü, C der 
Werth von F(a, b, c ... m,, ® l , w t . . .), 
wie er sich durch die Beobachtung er 
gibt , so wäre, wenn die letztere voll 
kommen genau wäre, 
F—C; 
da aber dies nicht der Fall ist, so 
setzen wir 
F— C=x 
und nennen x den Beobachtungsfehler. 
Er ist desto kleiner, je besser die ge 
brauchten Instrumente und je gewandter 
der Beobachter ist. 
Wir haben jetzt gemäss den Gesetzen 
der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu be 
stimmen, wie gross die Wahrscheinlich 
keit sei, dass ein gegebener Fehler x 
wirklich vorkomme. 
Hierbei macht Gauss folgende Schlüsse. 
Der einfachste Fall unserer Aufgabe 
wäre der, den wahrscheinlichen Werth 
einer Grösse (u) durch verschiedene Be-