Quadrate (Methode der kleinsten). 18 Quadrate (Methode der kleinsten). 
Quadrate (Metho 
(1) 
Y 
l 
und ausserdem: 
_ V'Cz) 
v 
xh 
(?) 4) 
sjy y 
t t 
woraus sich ergieht, wenn man den be 
liebigen positiven oder negativen Bruch 
s 
— — (/ setzt: 
i 1 
n> (y) 
q y y 
Es kann aber auch q eine Irrationalzahl 
sein, da solche immer als Grenzwerthe 
eines Bruches zu denken ist, dessen Zäh 
ler und Nenner ins Unendliche wachsen. 
Wenn man also irgend einen angenäher 
ten Werth von dem irrationalen q in die 
letzte Gleichung setzt, so bleibt sie rich 
tig, und da diese Annäherung kleiner 
als jede gegebene Grösse sein kann, so 
ist damit die Allgemeinheit der Glei 
chung 
— const. 
y 
erwiesen, wo qy~ß gesetzt, und ß ganz 
beliebig ist. Mit Rücksicht auf den Werth 
von xp (y) kommt nun: 
dq (y) 
7-V-7- = const. 
yi ('/jdy 
und durch Integration: 
lg '/(/) = — ci 2 y 2 + C 
wo const. = 2a gesetzt wurde und C eine 
neue Constante ist, also : 
—a 2 y 2 
q( y ) = ce 
ist der Ausdruck für das Vorkommen 
des Beohachtungsfehlcrs y. 
So strenge diese Schlüsse sind, die 
sich aus der Annahme ergeben, dass die 
arithmetische Mitte der Beobachtungen 
der wahrscheinlichste Werth einer zu be 
stimmenden Constanten ist, so ist doch 
diese Annahme eigentlich noch zu recht- 
fertigen. 
Die Formel 
C t + C 2 "k ■ • • 
f = 
n 
ergieht sich aus der Gleichung: 
f— C t -j-f— C a + ... + f— C n — 0; 
es ist also unser Satz gleichbedeutend 
mit dem, dass der wahrscheinlichste Werth 
der Grösse der wäre, welcher sich er- 
giebt, wenn man die Summe aller Beob- 
achtungsfehler gleich Null setzt. Es 
mochte dieser Satz vielleicht unmittelbar 
einleuchten, für den Fall, wo « = 2 ist, 
denn die Formel 
f-c\+r-c a = o 
oder 
/■_C t = -(/•-c 2 ) 
spricht eben nur aus, dass beide Beob- 
achtungsfehler (abgesehen vom Zeichen) 
gleich sind. Ist nun, wie man doch au- 
nehmen kann, irgend ein Beohachtungs- 
fehler der wahrscheinlichste, so ist auch 
am wahrscheinlichsten, dass man einen 
gleichen bei jeder der beiden Beobach 
tungen gemacht habe, und da nicht an 
zunehmen ist, dass beide Fehler dasselbe 
Zeichen haben, da eben so gut nach einer 
als nach der andern Seite eine Abwei 
chung möglich ist, so sind sie mit ent 
gegengesetzten Zeichen zu nehmen. In- 
dess selbst diese Betrachtung findet keine 
Anwendung mehr, wenn n grösser als 2 
ist. Es empfiehlt sich also aus diesem 
Grunde, den Werth für die Wahrschein 
lichkeit des Vorkommens eines gegebe 
nen Fehlers noch auf eine andere Art 
ahzuleiten. Wir thun dies nach Hagen 
(Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrech 
nung, 1837). Die Schlüsse, welche der 
selbe macht, sind folgende: 
Jede Beobachtung besteht aus ver 
schiedenen Manipulationen, und man 
kann im Allgemeinen die Anzahl dersel 
ben als sehr gross betrachten, um so 
mehr, da jede Manipulation wieder in 
andere, und zwar so viel man deren will, 
zerlegt werden kann. Aus jeder dieser 
Manipulationen ergieht sich ein Fehler, 
der im Allgemeinen als sehr klein an 
genommen werden muss ; aus der Summe 
dieser vielen kleinen Fehler setzt sicli 
dann der ganze Beobachtungsfehler x 
zusammen. Wir nehmen an, diese un 
endlich vielen kleinen Elementarfehler 
seien alle unter sich gleich; cs rechtfer 
tigt sich diese Annahme dadurch, dass 
jede Manipulation doch wieder als aus 
andern zusammengesetzt betrachtet wer 
den kann. Sind also die sich aus ge 
wissen Manipulationen ergebenden Feh 
ler ungleich, so kann man diejenigen, 
welche grössere Fehler geben, sich der 
art getheilt denken, dass schliesslich die 
Fehler gleich werden. Diese Gleichheit 
gilt aber nur für die absoluten Werthe 
der Fehler; was ihr Zeichen anbetrifft, 
so nehmen wir an, dass jeder derselben 
sowohl in positiver als in negativer Rich 
tung einwirken könne, in der That ist 
eins so gut möglich als das andere. — 
Bezeichnen wir nun einen dieser Ele 
mentarfehler durch q und sei 2 m die 
Anzahl aller Elementarfehler; der wirk 
liche Beobachtung! 
dann aus den poi 
q. Ist nun der I 
dies nur eintreten, 
fehler positiv sind; 
ist dies nur möglic 
pulationen positive 
eine einen solchen 
aber kann nach ch 
Beobachtv 
2 n 
2 (m - 
2 (m - 
2 (m - 
2 (ni—» 
—2 (in 
-2 
Von dem mittlc 
oder 0 an sind di« 
welche die Anzah 
alle symmetrisch, 
den Beobachtung! 
Beobach ti 
C 
4 
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± 
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Sei nun sr = x , 
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fehler. Zieht mai 
in welchen der Fel 
Zahl ab, welche £ 
(s-f-l)r ist, so erh