ir (analytische). 
Quadratur (analytische). 261 Quadratur (analytische). 
osíc+sina;) 
V 2 I !>) ' 
i — 2) {aß — bn) cos cp] dcp 
os cp) ,( 1 
eser Weise darstellbar, 
ft vorkommenden Inte- 
ax —, ['e-« x 'dx 
x J 
1. 
sr in jedem Falle die 
lern Integralzeichen in 
Reihe entwickeln, und 
•iren, wodurch man das 
in Form einer unend- 
It, die auch im Allge- 
rergiren wird, wenn die 
rgirt. 
Ist nämlich: 
f (®) =1 (*) + 7-2(■*) + 730*0 + • • • +V' n {x) -t- »/'„0*0 
eine solche convergirende Entwicklung von f{x) und ip n {x) der Rest, der sich 
also mit wachsendem n der Null nähert, so wird auch sein: 
rß rß rß rß 
I f(x)dx = j <h{x) dx-\-1 (f 2 {x)dx-\-1 (f i (x)dx+ 
J u J u J n J a 
+ 
rß rß 
I , /'n( x ) dxJ rl 'Pni x ) dx 
•' Cf Cf 
und der 
rß 
Rest I ip n {x)dx wird mit wach- 
a 
sendem n verschwinden, wenn das Ar 
gument \p n (x) innerhalb der Grenzen der 
Integration, also zwischen a und ß ver 
schwindet, „somit wird die Entwicklung 
für f f{x) dx also convergiren, wenn die 
Entwicklung von f(x) für alle Werthe 
von x zwischen « und ß convergirt.“ 
Es ist hier vorausgesetzt, dass a und ß 
reell sind, und der Weg der Integration 
auch nur durch reelle Werthe von x 
geht. „Ist dies aber nicht der Fall, so 
muss die Entwicklung von f{x) für alle 
Werthe von x convergiren, denen man 
auf dem Integrationswege begegnet,“ da 
mit die Reihenentwicklung für das In 
tegral einen Sinn gebe. 
In einem gewissen Falle kann aber 
die Reihenentwicklung für das Integral 
noch dann stattfinden, wenn die für das 
Argument schon aufgehört hat zu con 
vergiren. 
Ist nämlich 
f{x) = 'f l (x)+ff 2 {x)+ • • • +(f n {x)+ • • • 
convergent für alle Werthe von x — a 
bis x — ß, jedoch die Grenze ß nicht ein 
geschlossen, so dass die Entwicklung für 
f{ß) also nicht mehr stattfindet; ist aber 
die Entwicklung: 
ß f 
/ p rP rP rP 
f{x) dx = t <f v {x)dx-f- / </ 2 {x) dx-f / </ A {x)dx-\- 
a •*(.<. Ja J a 
rß’ 
+1 <f‘ n ( x ) dx + 
• / cf 
noch convergent für ß f = ß, so bleibt 
diese Reihenentwicklung für diesen Fall 
noch richtig, vorausgesetzt, dass 
rß 
I f{x)dx und die Reihenentwicklung 
•* a 
rechts nicht discontinuirlich werden. 
Denn beide Ausdrücke rechts und links 
sind continuirlich, und stimmen für alle so wird 
Werthe von ß' zwischen a und ß mit 
einander überein, können also für ß f - ß 
um keine endliche Grösse von einander un d 
abweichen. Die am häufigsten vorkom 
mende Reihenentwicklung ist die nach 
Potenzreihen. 
Beispiele. 
Sei gegeben 
/ 
dx 
lg x 
Die untere Grenze dieses Integrals möge 
Null sein. Setzen wir 
V - “lg x i 
. dx 
d y=-~ 
Sei 
f{x) = 2a p x p 
für 
wird 
also; 
dx — — xdy — — e d dy, 
x = 0 
y=+ co, 
und convergiré diese Entwicklung zwi 
schen x = a und x = ß, so ist: 
• * « ^ ' p-\~ 1 ' 
r x dx _ r 
./ 0 lg X 
y 
Vd. 
y. 
J +oo y 
Diese beiden in bereits bekannten For 
men nicht darstellbare Integrale lassen