Quadrate (Methode der kleinsten). 20 Quadrate (Methode der kleinsten). 
_ 2m (2m—1) (2m—2) . . . (m+s+2) 2m (2m—1) (2m—2) . . . (m+s+1) 
A2/ “ 1. 2. 3 (m-s-1) 
_ 2m(2m—1) (2m—2) . . . (m+s+1)/ 
1. 2. 3 (m—s) \m+s + l 
1. 2. 3 . . 
-!) = - 
2s + l 
(m — s) 
m+s +1 
oder da s = —- — war: 
r A® 
Ay 
2®+ A® 
(m 
Hierbei ist Folgendes zu bemerken. 
Zunächst seien ® t ® 2 zwei beliebige 
Werthe von a-undi/, y 2 die zugehörigen 
von y, so geben letztere offenbar das 
Yerhältniss der Wahrscheinlichkeiten an, 
in welchem diese Fehler Vorkommen wer 
den , denn da die Wahrscheinlichkeit 
(siehe Artikel Wahrscheinlichkeit) der 
Anzahl der günstigen Fälle durch die 
Anzahl aller Fälle dividirt gleich ist, so 
ist das Yerhältniss zweier Wahrschein 
lichkeiten gleich dem Verhältnisse der 
Anzahlen y L und y,, der entsprechenden 
Fälle. Man kann also die Grosse y als 
die relative Wahrscheinlichkeit des Feh 
lers x in Bezug auf andere mögliche Feh 
ler betrachten. 
Ferner nehmen wir jetzt an, dass die 
sehr kleine Grösse r oder A® verschwin 
dend klein, also gleich dx sei, so ist 
auch Ay — dy. Die Anzahl der Elcmen- 
tarfehler m ist dann als unendlich gross 
zu betrachten. Der grösste mögliche 
Fehler mr oder m Ax, welcher entsteht, 
wenn alle Manipulationen nach derselben 
Richtung gehende Elementarfehler erge 
ben , ist im Allgemeinen als unendlich 
zu betrachten, die letztgefundene Formel 
giebt also, wenn man A® gegen 2®, ® 
und A® gegen das unendliche mA® ver 
nachlässigt, und übrigens durch dx di 
vidirt : 
_ 2®y 
dx mdx 2 
+ 1) A®+®' 
mdx 2 wird wieder endlich sein, da das 
unendliche mdx mit dem unendlich klei 
nen dx multiplicirt ist; sei demnach 
mdx — so ergiebt sich: 
d l- 
dx 
-2k 2 xy 
oder durch Integration: 
lg«/ = lgC—ß 2 ® 2 , 
d. h. 
y-ce-“* x ' 1 
Dies ist der oben gefundene Werth. — 
Um die Constante C zu bestimmen , sei 
für ® = 0, y=y 0 , so kommt C=y 0 : 
p—K 2 X 2 
y-y o 6 
Da die Wahrscheinlichheit nur eine re 
lative ist, so ist der Werth von y 0 durch 
aus ohne Bedeutung. Suchen wir aber 
die absolute Wahrscheinlichkeit des Ein 
tretens des Fehlers ®, so ist offenbar 
die Anzahl y der Fälle, in denen der Feh 
ler x eintritt, durch die Zahl aller mög 
lichen Fälle zu dividiren, welche wir mit 
2y bezeichnen, denn dies ist die Defi 
nition des Begriffs der Wahrscheinlich 
keit. Sei dieselbe gleich w, so ist also: 
“=i 
aber da unendlich viele Fehler eintreten 
können: 
,-ß 2 ® 2 
y A® _ ydx _ 
dx 
: y A® 
dx 
denn die Grösse ® kann ja alle Werthe von — oo bis +co annehmen. Aus der 
Theorie der bestimmten Integrale hat man: 
f 
+ oo ß — a 2 x 2 
dx: 
if. 
folglich 
«6 
y n 
-ft 2 ® 2 
dx 
absolute Wahrscheinlichkeit eines einzel 
nen unendlich klein. 
Sucht man aber die Wahrscheinlich 
keit, dass der Fehler zwischen zwei ge- 
Es darf nicht befremden, dass die Grösse gebenen Gränzen ® 0 und x y liege, so 
io mit dx multiplicirt ist; denn da un- ist die Summe aller zugehörigen w der 
endlich viele Fehler möglich sind, ist die Ausdruck für diese Wahrscheinlichkeit,