ur (analytische). 
hat den Werth des In- 
s ist aber: 
dx n dx 
X lg* ./ & 
f x dx 
J l + r ] S X ' 
Integral das über den 
kte ist. In der Formel 
-&) J 
+0 « 
zu setzen, und es er- 
L — d')\ 
r+ö7 =Ig i =0 * 
rx)~(f.( — lg X)±rt, 
den über oder unter 
! liegenden Halbkreis 
hf = — 2tiì, 
ie Eichtung DGEFD 
also dieses Umkrei- 
Anzahl von Malen 
it 
Quadratur (analytische). 265 Quadratur (analytische). 
Das Integral hat also unendlich viel 
Wei’the, die sich um ungrade Vielfache 
von 7i von einander unterscheiden. 
Da übrigens nur für x = 1 die Dis- 
continuität von —stattfindet, so kann 
lg* 
nach dem Abschnitt 13, I. Gesagten kein 
andrer Integrationsweg neue Werthe für 
unser Integral ergeben. 
Denn da sieh z. B. zwischen BMC 
und BDGEC kein Discontinuitätspunkt 
befindet, so gehen beide Wege gleiche 
Werthe für unser Integral. 
./ 
II. Bestimmen wir noch das Integral 
• x _ 2 
e dx, welches in der Methode 
0 
der kleinsten Quadrate (siehe den ent 
sprechenden Artikel) eine wichtige Eolle 
spielt, wie überhaupt in der Wahr 
scheinlichkeitsrechnung. 
Man hat: 
-1 1 1-2 1.2*3 
■+ ■ • • 
T 
1 X 1 
F2^3T 
+ 
eine Eeihe, welche immer convergirt, 
und also zur Berechnung dieses Integrals 
gebraucht werden kann, was auch x sei. 
Mehrdeutigkeit findet bei diesem Inte- 
— rjß 2 o 
gral nicht statt, da e stets conti- 
nuirlich ist, so lange x nicht unendlich 
wird. 
30) Nicht immer aber braucht man 
die ganze unter dem Integralzeichen be 
findliche Function in eine Eeihe zu ent 
wickeln, Ist z. B. 
p(x)-<f{x)dx 
gegeben, und 
f{x) = 2a p x p 
eine convergirende Entwicklung, so ist: 
dx =. 2 a cP, f( x) dx, 
und es ist dann möglich, dass sich das 
Integral J'xPq{x)dx bestimmen lässt. 
Diese Methode findet z. B. Anwen 
dung, wenn (j{x) eine Exponentialgrösse 
oder eine trigonometrische Function, oder 
eine Quadratwurzel einer ganzen alge 
braischen Function zweiter Ordnung vor 
stellt. 
Ein Beispiel bietet das Integral des 
elliptischen Bogens: 
r x /1 — e a x 2 
J /1 t=r- 
hei welchem wir annehmen, dass e klei 
ner als 1 ist. Man hat 
y(l — e a x a )=:l — ¿e a x 2 — 
/1—e a x 2 
Z** _/l—e 2 x i n* 
/>n=^=/. 
J_ _1 
l-22 a 
dx 
1-3 
1-2-3 2 3 
S = GO 
8 /y; 8 . 
1-3-5—(2s—3)^2* 
V(l —* J ) S= 1 1-2-3--s-2* 
1-3-5 
1-2-3-4-2 16 X 
r x x 2s dx 
/ O y(l —x 2 
g 2 
= arcsinx-f—(xy(l—x 2 ) — arcsinx) +g2[(* s +|*)V(l—**)—farc sinx] 
+ §6 + + ~|t| aic sin x] + 
Diese Eeihe convergirt sehr stark, wenn e ein sehr kleiner Bruch ist. Ist letz 
teres nicht der Fall, so kann man setzen: 
y(l e a x a ) = y [1 e’-f-e 1 (l-x a )] = e\{l-x>)J l + j~ e \ 
\ e\l-x*) 
und es wird: 
f (~ ig 1)+(2s+l)n, 
i 
1—e a x 
1—x a 
= c 
1 + 
l—e a 
e 2 (l — x s ) 
= «[! + 
7 
1—e 2 
e a (l —x 2 ) 
(1 —e 2 ) 2 
e*(l —X 2 ) 2 
. (!-«*)* 
T7r e *(l—x 1 )* 
positive oder nega-