Quadratur (analytische). 266 Quadratur (analytische). 
f = e jx+lz£. lg khf _ (kiü)* (_JL. + 
./ ! 1-x 2 4e 2 g l-a; 16e* \1-* 2 + 1 g l-J 
(1-e*)«/ « x l+*\ . . i 
64e 6 \(l- a: 2 )» + ^l- iC » + ilg l-J + J ’ 
eine Reihe, welche gut convergirt, wenn e der Eins sehr nahe liegt. 
Auch das theilweise Integriren bietet ein Mittel zur Reihenentwicklung dar. 
Man hat: 
J* f(x) dx - xf{x) — j' x ( ^~~dx 
oder in der Lagrangeschen Bezeichnung: 
ff{x) dx = xf(x) — j'xf'ix) dx 
j'xf\x)dx = £ x i f , {pc)—\j'x*f n {x) dx 
f'v*f"(x) dx = l s x*f"{x)~$j'x i f'"{x) dx 
f c n ~ 1 j > (x) dx = ~ x n fi l ~ 1 \x) -j- fx n f {n \x) dx, 
also: 
f f(,)ix=xfix)-±*'n*)+j£ s f"(>‘)-i : £ s zr"(*)+ ■ ■ ■ 
Also wenn man als die Grenzen des Integrals x und cc anniramt: 
f f( x ) dx - x fi x )~ ff ( g ) + -f.2.3 ~* • ®7 (H ~ 1) (*) 
/•"(«) (-iy 
1-2 • • n 
r(«—0, 
iyb 
Diese Reihe convergirt also immer, wenn der Ausdruck j x n f^ n \x) dx mit 
•J a 
wachsendem n sich der Null nähert. 
In Abschnitt 6) wurde die Formel bewiesen: 
f 7 (x) f{x) dx - f[a + i (/S—ß) ] / 7 (x) dx, 
J cc •’ cc 
wo f ein positiver echter Bruch ist, und r/(x) zwischen den Grenzen cc und ß sein 
Zeichen nicht ändert. 
y ' x ( t 
x n f n ' (x) dx an, bei welchem wir 
cc 
voraussetzen, dass cc und x gleiche Vorzeichen haben, dann wird auch x n zwi 
schen « und x seine Zeichen nicht ändern, und man hat: 
f x n fW {x)dx = f W[«+e (x — «)/* + ,