Quadratur (analytische). 268 Quadratur (analytische). 
31) Mechanische Quadratur. Dagegen ergibt sich zur annähernden 
T . , , Berechnung der Integrale unmittelbar aus 
Die oben gegebene Integrationsmethode der Grundform, welche wir den Integra, 
durch Reihen ist an die Conyergenzbe- len gegeben haben e ine allgemein gül- 
dmgungen gebunden, also nicht allge- tige Methode 
mein anwendbar. Es war nämlich . 
f P f( x ) dx = lim [(x 1 -x 0 )f(x 1 )+(x 2 -x l )f(x 2 )+(x s —x 2 )f(x s ) + • • • 
X ° +(ar — X I )/’(*„)]) 
' p p— 1' ' p J 
wo x t , x 2 • • • x zwischen x 0 und eher Punkt nicht befindet (siehe Ab- 
x " schnitt 13). Wir werden hier annehmen, 
' P liegendeZwischenwerthe sind, welche dass x 0 und x reell, und also der In- 
durch den Integrationsweg bestimmt wer- . P. ., . , 
den. Hat f{x) keinen mehrfachen und tegrationsweg die Abscissenaxe sei da 
keinen Discontinuitäispunkt, so kann im- die Betrachtungen für andre Falle keine 
mer die von * 0 und x begrenzte grade weitern Schwierigkeiten machen. 
Linie genommen werden, wie ja stets Nimmt man die Unterschiede x l —x 0 , 
zwei Wege mit einander vertauscht wer- x 2 -x x "-x —x _. hinreichend klein, 
den können, die zwischen x n und x .,,^’^1,. ,,, 
u p so wird der entsprechende Ausdruck, der 
liegen, und zwischen denen sich ein sol- sich unter dem Zeichen lim. befindet: 
A — (x l x 0 )f{x l )+{x 2 x f) f (x ■{-(x 3 x 2)f( x s)~^ * ’ * 'b( a p X p \)f( x p) 
/ Xp 
f(x ) dx geben, da, wenn diese Differenzen un- 
. ' X o V 
endlich klein sind, das bestimmte Integral selbst erscheint. Vorausgesetzt ist 
natürlich, dass jedes Glied unsrer Summe: (x g —x^ t )fi x s ) nach Null hin con- 
vergirt, wenn sich x g und x g _ ^ einander nähern. 
Uebrigens ist auch: 
*X n 
f * i(x)dx=lim[(x l -x 0 )f(x 0 )+(x a —x i )f(x l )+(x t -x 2 )f(x 2 )+ • • • 
X ° +Cx -X ,)f(x .)], 
' p p— y'' p — 1 /J ’ 
da die Grössen (x —x ,) f(x ) und (x ~x ) f(x ,) nur einen verschwin- 
denden Unterschied haben. Es ist also auch 
B = (x l -x 0 )f(x 0 )+(x 2 -x i )f(x l ) + ix i -x. 3 )f(x 2 )+ . . . +(x p ~Xp_ [ )f(x p _ i s } 
ein Annäherungswerth unseres Integrals. 
Man kann aber auch statt eines unserer beiden Werthe, die arithmetische 
Mitte beider nehmen, also: 
(*|-*o) 
2 
+ 
("V X P-') \f(x )+f(x l )] = C=A+B 
und dieser Ausdruck wird jedenfalls dem nehmen bleibe, so wird offenbar A zu 
wahren Werth des Integrals näher lie- gross, ß zu klein sein, während das 
gen, als einer der beiden zuerst gege- Gegenthcil stattfindet, wenn f(x) stets 
benen A und B, nämlich als derjenige, abnimmt, und in diesem Falle wird also 
welcher am weitesten von diesem wahren der Ausdruck C als Mitte zwischen einem 
Werthe entfernt ist. zu grossen und einem zu kleinen Werth, 
Nimmt man noch an, dass auf dem diesen beiden vorzuziehen sein, 
ganzen Integrationswege f{x) sein Zei- Die Ausdrücke A, B, C sind aber auch 
eben nicht wechsele und stets im Zu- einer geometrischen Deutung fähig.