Quadratur (analytische). 270 Quadratur (analytische). 
Durch Summation der den verschiedenen Werthen von s entsprechenden In 
tegrale erhält man einen Ausdruck, dessen entwickelter Theil mit dem Werthe 
von A iibereinstimmt, und es ist also: 
/ Xp s~p 1 /**$-{-1 x s 
f(x)dx~A-- 2 J uf\x s +ti)du. 
x 0 s=0 J 0 
Da aber die Grösse u zwischen 0 und x , —x ihr Zeichen nicht ändert, so 
1 s ’ 
hat man auch (vergleiche Abschnitt 6) 
p s + 1 x s 
nF r (r 4-iiSdu — -l /'f l' X-tfx ^ 
wo f ein positiver echter Bruch ist. Man hat also: 
r x p s=p~ 1 
I f(x)dx ~ A—\ 2^ c* a+1 —* 4 )T[* 4 +*(*,+J ~X g ). 
Der unter der Summe befindliche Theil aber verschwindet, wenn die Differenz 
—x g abnimmt, und f\x) nicht unendlich wird. A gibt also in diesem 
Falle einen Näherungswerth. 
Setzen wir in den Ausdruck 
uf\x s +u)du = \f'[x s +i(^ 4 _ 1 — *,)] (* s+1 —x t )\ 
so wird: 
also: 
^s+l 
* = * t+l -* 
« = * s+1 -* s ^r x = x s , 
m = 0 für x-x 
s+1 ’ 
/ *s-M r /■-< 
*s-j-f 
■u)du 
und 
/ A ’s-i-l x s n 
f( x s ^. i -^du={x s+l -x s )f(x $ ) + J 
^S-f-l X S 
uf\x s+l —u)du. 
pXp S ~p I pX s \ J Xg 
J f(x)dx~B-\- 2 j uf , {x s _^ i —u)du 
Es wird also wieder, wenn man die den verschiedenen Werthen von x & entspre 
chenden Integrale addirt: 
•»« s=p—i r Xg +l —x s 
2 1 
*o « = 0 
oder wenn # ein positiver echter Bruch ist: 
f * > J(x)dx = B +l ^ f'[x s+i ^(. x s -(-i x s )]i x s -j_j -^) 2 - 
Aus den beiden Formen für das gesuchte Integral ergibt sich noch, dass falls 
f'(x) während der Integration sein Zeichen nicht ändert, einer der Werthe A 
und B stets zu klein, der andere aber zu gross ist, und zwar ist, falls f'(x) po 
sitiv ist, also der Werth von f{x) immer wächst, B zu klein, im entgegengesetz 
ten Falle A zu klein.