Quadratur (analytische). 275 Quadratur (analytische). 
so wird bei der Anwendung des im vorigen Abschnitte gegebenen Verfahrens 
der Fehler sein gleich: 
/ (f(x)dx— C \p(x)dx-=i /' Vf[x)dx. 
0 Jo Jo 
Sei nun (fix) in eine Reihe nach steigenden Potenzen von x entwickelt, 
(f{x)~ C 0 -j r C l x+C 2 x' t : j- ...+C n x n +..., 
also 
so ist: 
<f‘i x ) _ x PiPf) , y. 
fix) ~ fix) + ’ 
y{x) 
aber —( enthält keine ganze Function von x, es ist also V der Quotient der 
fi x ) 
Entwicklung von X P i x ) der Divisionsrest. Um V zu erhalten, kann 
man nun nach fallenden Potenzen von x entwickeln: 
fix) 
fix) n M+l 
• ' t x. x 
B. B t 
+ ~fr + 
‘ ’ " M-f-S 
und diese Reihe mit y{x) multipliciren; V ist dann der Inbegriff aller Glieder, 
welche positive Exponenten haben. 
Man erhält: 
V=B 0 C « + B , C „+t +B 2 C n + 2 + ■■■ 
+ (®0 C « + l + B i C « +3 + i 2 C »+3+---)* 
+ ( ß 0 C „ + 2 + B 1 C «+3 + ß 2 C »+.+ - ■ •)»’ 
+ 
oder wenn man nach den Coefficienten C ordnet: 
F = c , i .+ c .WV+^+WV ,+ V+<i) + • • -i 
hiernach wird der Fehler sein: 
f l Vf(x) dx= C n B Q f l f{x)dx+ C n+ J '(B Q x + B t )f(x)dx 
+ c n+2 J' i B o x2 + B i x + B i)tix)dx+ ... 
Es sollen jetzt die Zwischenwerthe a lt a 2 . . . nicht willkürlich, sondern 
so bestimmt werden, dass die n ersten Glieder dieses Fehlers oder, was dasselbe 
ist, die Integrale: 
/ ,f{x)dx, r xf(x)dx, C x 2 f(x)dx... C x n *f(x)dx 
0 Jo J 0 J 0 
verschwinden, es fallen dann die Coefficienten C , C' , , C C n 
’ 11 W+l M+ 2’ 2 tl—1 
ganz weg und der Fehler hängt nur von C nn , • • • a h- 
Nun ist: 
fx m f(x) dx — x m ff(x)dx—mf [x m ~ 1 ff{x)dx] dx — x m J'f(x)dx—mx n ^J[f(x)dx 
■\-m{m~V)fx m 3 \_J'(J'fix)dx)dx\ dx 
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