Quadratur (analytische). 278 Quadratur (analytische). 
Dies Integrationsverfahren ist dann an- 34) Doppelte und vielfache In 
wendbar, wenn man zwar die Form der tegrale. 
Function (j{x) nicht kennt, jedoch die 
selbe für beliebige gegebene Werthe Bs se ^ 
rtj, «j ... zu berechnen imStande ist; x „ 
es verliert aber seinen Nutzen, wenn diese / ‘ f{x,y)dx — y{y), 
Werthe « l , ... selbst gegeben sind. J x 
Die in den beiden vorigen Abschnitten . 
gegebenen Methoden der mechanischen ® ei ^ er Berechnung dieses Integrales ist 
Quadratur bleiben dann noch anwendbar. V a * s constant betrachtet. Wir setzen 
In diesem und dem vorigen Abschnitte J e( ioch zunächst voraus, dass die Gren- 
sind wir der Darstellung in „Minding’s zen x o unc ^ x p von V unabhängig sind. 
Jahrbuch der Differenzial- und Integral- Es ist dann nach unserer Bezeichnung: 
rechnung“ gefolgt. 
f f (y) = ( X 1 ~ x 0 f( x I. y) + i x 2 ~ x I) A»* Jy) 4-(«s -*.) fi**, y) + • • ■ + (* ■-X _ 1 )/ , (* y) 
und folglich 
/ Vr nVr n x p 
7 (y) d y = / / f(x,y)dxdij= . . . 
yo '* y 0 J x 0 
= 1 (yi-yo)K x i- x o)f( x i,yi) + ( x i- x i)f{ x 2,yi) + ( x i- x i)f( x 3’yi)+ • • • 
+ ( x p~ x p-0 Kyyi)] 
+(yi-yi)K x i- x o)fi x ^y?)+i x 2- x i)f( x ^y2)+( x s~ x 2)i( x a^yi) + ■ • • 
+ {yi-y-2)[i x l - x o)f( x ^y3) + { x 2- x i)fi x 2,y i ) + ( x i - x i )f( x :,y i )+ ■ . . 
+ ( x p - x p-. { )fi x p ’y*)] 
+ (y r -y r _ l )[( x i- x o)f( x i, y r )+(»!—*! )fi x 2 , y r )+( x »- x 2 )f( x s ,y r )+ 
Setzt man noch 
also: 
+ ( x p- x p-^f( x p' Z/ r )]- 
nyr 
I f{x,y)dx = xp{x), 
V'i x ) = (yi-yo)f( x ,yi)+(y2-yi)f( x ,y*)+ • • • +(y r -y r _ l )f( x ,y r ), 
/ x p 
xfj{x)dx völlig mit dem obigen 
»0 
übereinstimmt, wenn man die vertical unter einander stehenden Glieder zusam 
menstellt, und man hat daher: 
/ x p nVr 
V {x)dx = j (f {y)dy 
oder: 
yr 
y 0 
x p nyr 
nyr n x p „ n x p nVr 
I I f{x,y)dxdy = / / f(x,y)dydx. 
J x o J x o J y 0 
Diese Ausdrücke heissen Doppelintegrale. Man hat für dieselben also den Satz: 
„Wenn die Grenzen der Doppelintegrale constant sind, so kommt es auf die 
Ordnung des Integrirens nicht an.“ 
Dieser Satz lässt sich augenblicklich auf drei und mehrfache Integrale aus 
dehnen.